Exercice n°4
Rappel de cours :
L'arithmétique étudie les propriétés des entiers.
Pour les démonstrations, nous utilisons le principe de bon ordre que nous admettons :
Tout sous-ensemble non vide de \(\mathbb N\) possède un plus petit élément.
Nous démontrons à l'aide de ce principe du bon ordre le principe du raisonnement par récurrence que vous connaissez depuis le lycée.
Voici une démonstration :
Pour tout \(n \geq 2\) on considère la propriété :
\(P (n) : n\) points distincts du plan sont alignés
Initialisation
\(P (2)\) est vraie car deux points distincts sont toujours alignés.
Hérédité :
On suppose que \(P (n)\) est vraie et on va démontrer \(P (n + 1)\)
Soit donc \(A1 , ..., An+1\) des points distincts.
Les points \(A1 , ..., An\) sont alignés sur une droite \(d\) d'après l'hypothèse \(P (n)\). Les points \(A2 , ..., An + 1\) sont aussi alignés sur une droite \(d'\) .
Les deux droites \(d \textrm \quad{et} d' \textrm \quad {ont} \quad n - 1\) points en communs \(A2 , ..., An\) .
Donc \(A1, A2, ..., An + 1\) sont alignés, ce qui montre l'hérédité de la propriété.
Conclusion : \(P (n)\) est vraie pour tout \(n \geq 2.\)