Exercice n°6
Rappel de cours :
L'arithmétique étudie les propriétés des entiers.
Pour les démonstrations, nous utilisons le principe de bon ordre que nous admettons :
Tout sous-ensemble non vide de N possède un plus petit élément.
Nous démontrons à l'aide de ce principe du bon ordre le principe du raisonnement par récurrence que vous connaissez depuis le lycée.
On considère une suite \((u_n)_n \in \mathbb N\) définie par :
\(u_0 = 0 , u_1 = 1 \quad \textrm {et} \quad u_{n +1} = u_n + 2 u_{n -1} \quad \textrm {pour} \quad n \geq 1\)