Exercice n°5
Rappel de cours :
L'arithmétique étudie les propriétés des entiers.
Pour les démonstrations, nous utilisons le principe de bon ordre que nous admettons :
Tout sous-ensemble non vide de \(\mathbb N\) possède un plus petit élément.
Nous démontrons à l'aide de ce principe du bon ordre le principe du raisonnement par récurrence que vous connaissez depuis le lycée.
Soit la propriété \(P (n) : 9\) divise \(10 ^n - 1.\)
C'est-à-dire qu'il existe un entier \(k\) tel que \(10 ^n - 1 = 9 k.\)