Transposée d'une matrice
Définition :
Soit\( \displaystyle{\mathcal A=(a_{i,j})}\) un élément de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\). On appelle transposée de \(\mathcal A\) et l'on note\( {}^t\mathcal A\)la matrice à \(p\) lignes et \(n\) colonnes de terme général \(b_{k,l}\) défini par :
\(\displaystyle{\forall k,1\leq k\leq p,\forall l,1\leq l\leq n\quad b_{k,l}=a_{l,k}}\)
Remarque :
Bien noter que si \(\mathcal A\) est une matrice à \(n\) lignes et \(p\) colonnes, \({}^t\mathcal A\) est une matrice à \(p\) lignes et \(n\) colonnes.
Bien noter que la définition ci-dessus signifie que la i-ième ligne de \(\mathcal A\) devient la i-ème colonne de \({}^t\mathcal A\).
La transposée d'une matrice ligne est une matrice colonne.
Propriété : Propriété immédiate
Si \(\mathcal A\) est une matrice élément de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K),{}^t({}^t\mathcal A)=\mathcal A\) . Cela découle immédiatement de la définition.
Exemple : Exemples de calcul de transposée
Soit \(\mathcal A\) la matrice réelle à \(3\) lignes et \(4\) colonnes définie par :
\(\displaystyle{\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&-2&5\\-1&0,5&2&0,4\\0&\sqrt3&2&0,1\end{array}\right)}\)
. Sa transposée sera donc une matrice à \(4\) lignes et \(3\) colonnes, égale à
\(\displaystyle{\mathcal{}^tA=\left(\begin{array}{cccccc}1&-1&0\\2&0,5&\sqrt3\\-2&2&2\\5&0,4&0,1\end{array}\right)}\)
Soit la matrice carrée réelle d'ordre \(3\) (c'est-à-dire à \(3\) lignes et \(3\) colonnes) définie par
\(\displaystyle{\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&-1&2\\2&0&32\\3&-9&0\end{array}\right)}\). Alors sa transposée sera une matrice à \(3\) lignes et \(3\) colonnes, donc de même type, égale à
\(\displaystyle{\mathcal{}^tA=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&3\\-1&0&-9\\2&32&0\end{array}\right)}\).
L'observation de cet exemple conduit à plusieurs remarques, valables pour toutes les matrices carrées.
La transposée d'une matrice carrée est une matrice de même type.
Si \(\mathcal A\) est une matrice carrée, les termes diagonaux de \(\mathcal A\) et de \({}^t\mathcal A\) sont les mêmes.
Intuitivement on voit que pour obtenir \({}^t\mathcal A\) à partir de \(\mathcal A\), on fait une symétrie par rapport à la diagonale principale.