Propriétés liant ces deux opérations

On a donc défini deux opérations de natures différentes sur l'ensemble des matrices, l'addition des matrices et la multiplication d'une matrice par un scalaire. Cette page est consacrée à l'étude des règles de calcul les faisant intervenir toutes les deux.

PropriétéPropriété 1

Soient \(\mathcal A=(a_{i,j})\) une matrice quelconque appartenant à \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K),\alpha\) et\( \beta\) et deux éléments quelconques de \(\mathbf K\). Alors

\(\displaystyle{(\alpha+\beta)\mathcal A=\alpha\mathcal A+\beta\mathcal A}\)

En effet, le terme général de \((\alpha+\beta)\mathcal A\) est égal à \((\alpha+\beta)a_{i,j}\). D'après les règles de calcul dans \(\mathcal K,(\alpha+\beta)a_{i,j}\), est égal à\( (\alpha a_{i,j}+\beta a_{i,j})\)qui est le terme général de la matrice \(\alpha\mathcal A+\beta\mathcal A\).

PropriétéPropriété 2

Soient \(\mathcal A=(a_{i,j})\) et \(\mathcal B=(b_{i,j})\) deux matrices quelconques appartenant à \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K),\alpha\), un élément quelconque de \(\mathbf K\). Alors

\(\alpha(\mathcal A+\mathcal B)=\alpha\mathcal A+\alpha\mathbf B\)

La démonstration est tout à fait semblable à la précédente.

ExempleExemple d'utilisation

Soit la matrice réelle\(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}2&2&\sqrt2\\-1&6&0\end{array}\right)\). En utilisant les propriétés précédentes, on peut écrire :

\(\displaystyle{\mathcal A=2\left(\begin{array}{cccccc}1&0&0\\0&0&0\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{cccccc}0&1&0\\0&0&0\end{array}\right)+\sqrt2\left(\begin{array}{cccccc}0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cccccc}0&0&0\\1&0&0\end{array}\right)+6\left(\begin{array}{cccccc}0&0&0\\0&1&0\end{array}\right)}\)