Définition
Si \(\mathcal M\) est une matrice appartenant à \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\), ses lignes sont notées \(\mathcal L_s\), avec , \(1\leq s\leq n\) et ses colonnes\( \mathcal C_h\), avec \(1\leq s\leq n\). Les transformations que nous allons décrire ne changent évidemment pas l'ordre de la matrice sur laquelle elles sont effectuées. Elles sont exactement calquées sur ce qui a été vu pour les systèmes.
Définition :
Echange de la i-ième ligne\( \mathcal L_i\) (respectivement colonne \(\mathcal C_i\)) et de la j-ième ligne \(\mathcal L_ j\)(respectivement j-ième colonne \(\mathcal C_j\)), transformation notée \(\mathcal H_{i,j}\) (respectivement ) \(\mathcal K_{i,j}\)
\(\mathcal H_{i,j} :\mathcal L_i\leftrightarrow\mathcal L_j\)
\(\mathcal K_{i,j} :\mathcal C_i\leftrightarrow\mathcal C_j\)
Multiplication de chaque élément de la i-ième ligne \(\mathcal L_i\) (respectivement i-ième colonne \(\mathcal C_i\) ) par un scalaire \(\alpha\) non nul, transformation notée (respectivement ) \(\mathcal H_i(\alpha)\) (respectivement \(\mathcal K_i(\alpha)\))
\(\mathcal H_i(\alpha) :\mathcal L_i\longleftarrow\alpha\mathcal L_i\)
\(\mathcal K_i(\alpha) :\mathcal C_i\longleftarrow\alpha\mathcal C_i\)
Addition aux éléments de la i-ième ligne\( \mathcal L_i\) (respectivement i-ième colonne \(\mathcal C_i\)) de\( \alpha\) fois les éléments correspondants de la j-ième ligne \(\mathcal L_j\) (respectivement j-ième colonne \(\mathcal C_j\)), transformation notée \(\mathcal H_{i,j}(\alpha)\) (respectivement \(\mathcal K_{i,j}(\alpha)\))
\(\mathcal H_{i,j}(\alpha) :\mathcal L_i\longleftarrow\alpha\mathcal L_i+\alpha\mathcal L_j\)
\(\mathcal K_{i,j}(\alpha) :\mathcal C_i\longleftarrow\alpha\mathcal C_i+\alpha\mathcal C_j\)
Remarque :
Il est clair que pour tout entier \(i\) et \(j\), compris entre \(1\) et \(n\), on a \(\mathcal H_{i,j}=\mathcal H_{j,i}\) . De même, pour tout entier \(i\) et\( j\), compris entre \(1\) et \(p\), on a \(\mathcal K_{i,j}=\mathcal K_{j,i}\). Par contre pour tout entier \(i\) et \(j\), compris entre \(1\) et \(n\) (respectivement compris entre \(1\) et \(p\)) et tout scalaire\(\alpha\) non nul, on a \(\mathcal H_{i,j}(\alpha)\neq\mathcal H_{j,i}(\alpha)\) (respectivement \(\mathcal K_{i,j}(\alpha)\neq\mathcal K_{j,i}(\alpha)\)).