"Inverse" d'une transformation élémentaire
Pour chacune des transformations décrites ci-dessus, une question se pose : existe-t-il une transformation qui annule l'effet de cette transformation ? La réponse à cette question est donnée par les résultats suivants dont les justifications sont évidentes :
Si on applique deux fois \(\mathcal H_{i,j}\) (respectivement \(\mathcal K_{i,j}\)), on trouve la matrice de départ.
Si on applique d'abord \(\mathcal H_{i}(\alpha)\) (respectivement \(\mathcal K_{i}(\alpha)\)), puis \(\mathcal H_i(\frac{1}{\alpha})\)
(respectivement \(\mathcal K_i(\frac{1}{\alpha})\)) on trouve la matrice de départ.
Si on applique \(\mathcal H_{i,j}(\alpha)\) (respectivement\( \mathcal K_{i,j}(\alpha)\)), puis (respectivement \(\mathcal K_{i,j}(-\alpha)\)) on trouve la matrice de départ.
Remarque :
Dans tous les cas pour revenir à la matrice de départ, on applique une transformation élémentaire de même nature.
Exemple : Exemple 1
Soit la matrice \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)\)
Si on applique la transformation élémentaire \(\mathcal H_{2,1}(-4)\), cela revient à remplacer la deuxième ligne \(\mathcal L_2\) par\( \mathcal L_2-4\mathcal L_1\quad (\mathcal L_2\gets\mathcal L_2-4\mathcal L_1)\), on obtient la matrice
\(\mathcal A'=\left(\begin{array}{cccccc}&1&&2&&3\\4-4\times&1&5-4\times&2&6-4\times&3\\&7&&8&&9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&3\\0&-3&-6\\7&8&9\end{array}\right)\)
Si on applique la transformation élémentaire \(\mathcal H_{2,1}(4)\) à la matrice \(\mathcal A'(\mathcal L_2\gets\mathcal L_2+4\mathcal L_1)\), on obtient la matrice
\(\mathcal A"=\left(\begin{array}{cccccc}&1&&2&&3\\0+4\times&1&-3+4\times&2&-6+4\times&3\\&7&&8&&9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)=\mathcal A\)
Exemple : Exemple 2
Soit la matrice \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&-1&4\\2&4&3&5\\-1&-2&6&-7\end{array}\right)\)
Si on applique la transformation élémentaire\( \mathcal K_{3,1}(1)\) , cela revient à remplacer la troisième colonne \(\mathcal C_3\) par \(\mathcal C_3+\mathcal C_1 ( \mathcal C_3\gets \mathcal C_3+ \mathcal C_1)\) et l'on trouve
\(\mathcal A'=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&-1+1&4\\2&4&3+2&5\\-1&-2&6-1&-7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&0&4\\2&4&5&5\\-1&-2&5&-7\end{array}\right)\)
Si on applique successivement les transformations élémentaires (sur les colonnes)\( \mathcal K_{2,1}(-2)\), \(\mathcal K_{4,1}(-4)\) on trouve successivement les matrices
\(\mathcal A"=\left(\begin{array}{cccccc}1&0&0&4\\2&0&5&5\\-1&0&5&-7\end{array}\right) \textrm{ puis } \mathcal A"=\left(\begin{array}{cccccc}1&0&0&0\\2&0&5&-3\\-1&0&5&-3\end{array}\right)\)
Remarque : Ces exemples conduisent aux remarques suivantes
Cette technique donne un procédé pour trouver une matrice "plus simple" que la matrice de départ.
Mais il est clair que pour pouvoir utiliser cette observation, il faut formaliser mathématiquement le procédé c'est-à-dire trouver une relation mathématique entre la matrice de départ \(\mathcal A\) et les matrices \(\mathcal A',\mathcal A"\) et \(\mathcal A"'\). Il faut aussi, pour que ces transformations aient un intérêt, savoir préciser les propriétés de la matrice de départ A qui sont conservées par ces diverses transformations.
Intuitivement il apparaît que le produit de matrices est le bon outil pour y parvenir. C'est ce qui va être développé dans le paragraphe suivant.