Théorème de réduction
Ce théorème concerne toutes les matrices, carrées ou non.
Son résultat permet, entre autres, de donner un critère d'inversibilité d'une matrice carrée avec un algorithme de calcul de l'inverse si il y a lieu.
Théorème : Réduction d'une matrice à l'aide des transformations élémentaires
Soient \(p \textrm{ et }n\) des entiers supérieurs ou égaux à \(1 \)et \(\mathcal A\) une matrice de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K\)), non nulle.
Alors, il existe un entier\( r,1\leq r\leq p\) et \(1\leq r\leq n\), et deux matrices \(\mathcal P\) et \(\mathcal Q\), telles que :
les matrices \(\mathcal P \textrm{ et }\mathcal Q\), appartiennent respectivement à \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) et \(\mathcal M_p(\mathbf K)\) et sont des produits de matrices élémentaires,
on ait l'égalité \(\mathcal{PAQ}=\left(\begin{array}{cccccc}\mathcal I_r&\mathcal O_{r,p-r}\\\mathcal O_{n-r,r}&\mathcal O_{n-r,p-r}\end{array}\right)\)
Explicitation des notations
\(\mathcal I_r\) désigne la matrice unité d'ordre \(r,\mathcal O_{s,t}\) désigne la matrice nulle à \(s\) lignes et \(t\) colonnes
Remarque :
Les matrices élémentaires sont des matrices inversibles, donc \(\mathcal P\) et \(\mathcal Q\) sont aussi des matrices inversibles (leurs inverses sont des produits de matrices élémentaires). D'où une autre façon d'énoncer le théorème précédent
Proposition :
Soit\( p\) et\( n\) des entiers supérieurs ou égaux à \(1 \textrm{ et A }\) une matrice de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\), non nulle.
Alors, il existe un entier \(r\) supérieur à\( 1\) et inférieur ou égal à \(p\) et à \(n\) tel que \(\mathcal A\) soit équivalente à la matrice \(\left(\begin{array}{cccccc}\mathcal I_r&\mathcal O_{r,p-r}\\\mathcal O_{n-r,r}&\mathcal O_{n-r,p-r}\end{array}\right)\) .
Ici, nous privilégions l'aspect effectif du résultat et insistons sur la démarche algorithmique qui permet de trouver effectivement\( r, \mathcal P\) et \(\mathcal Q\).
C'est pourquoi la preuve calculatoire du théorème, basée sur une démonstration par récurrence, ne sera pas développée car non pratique.
Remarque :
La conclusion du théorème donne l'existence de l'entier \(r\), mais ne donne aucune indication sur son éventuelle unicité.