Matrices carrées

Soit \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&-1&2\\2&5&-2&2\\1&2&1&2\end{array}\right)\)

Les deux premières étapes ne sont pas nécessaires ici. On démarre donc directement à la troisième.

Troisième étape : Il s'agit de garder le\( "1"\) de la première ligne première colonne et de faire les transformations élémentaires nécessaires pour obtenir une matrice dont la première colonne sera \(\begin{array}{cccccc}1\\0\\0\end{array}\). Il s'agit donc de faire des opérations sur les lignes et donc de multiplier à gauche par des matrices élémentaires.

Quatrième étape : Le point de départ est la matrice \(\mathcal A_2=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&-1&2\\0&1&0&-2\\0&0&2&0\end{array}\right)\)

La première colonne est conservée et on fait des opérations élémentaires sur les deuxième, troisième et quatrième colonnes de manière à avoir une première ligne égale à :\(\begin{array}{cccccc}1&0&0&0\\\end{array}\).

Donc il faut multiplier à droite par des matrices élémentaires

Cinquième étape : On continue à travailler sur les colonnes, donc à multiplier à droite par des matrices élémentaires. Les trois premières colonnes sont conservées et l'on fait apparaître des 0 sur toute la dernière colonne

Dernière étape : Il ne reste plus qu'à "transformer le \("2"\) de la troisième colonne en \("1"\). Pour cela il suffit d'utiliser la transformation élémentaire qui multiplie tous les termes de la troisième colonne par \(\frac{1}{2}\).

Le résultat est donc le suivant :

\(\displaystyle{[\mathcal T_{3,1}(-1)\mathcal T_{2,1}(-2)]\mathcal A[\mathcal T_{1,2}(-2)\mathcal T_{1,3}(1)\mathcal T_{1,4}(-2)\mathcal T_{2,4}(2)\mathcal D_3(\frac{1}{2})]}=\left(\begin{array}{cccccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right)\)

Donc \(r=3, \mathcal P=[\mathcal T_{3,1}(-1)\mathcal T_{2,1}(-2)]\) et \(\mathcal Q=[\mathcal T_{1,2}(-2)\mathcal T_{1,3}(1)\mathcal T_{1,4}(-2)\mathcal T_{2,4}(2)\mathcal D_3(\frac{1}{2})]\).