Critère d'inversibilité
On va commencer par trouver une propriété caractéristique de l'inversibilité d'une matrice. Soit n un entier supérieur ou égal à \(2, \textrm{ et A }\) une matrice carrée d'ordre \(n\). En réduisant cette matrice par les transformations élémentaires, on peut dire qu'il existe un entier r et deux matrices carrées d'ordre \(n, \mathcal P\) et \(\mathcal Q\) telles que :
\(\mathcal P\) et \(\mathcal Q\) sont des produits de matrices élémentaires d'ordre \(n\).
\(\mathcal{PAQ}=\left(\begin{array}{cccccc}\mathcal I_r&O\\O&O\end{array}\right)\)
Le théorème suivant donne une condition nécessaire et suffisante portant sur \(r\) pour que la matrice soit inversible.
Théorème : Critère d'inversibilité
Soit n un entier supérieur ou égal à \(2\), et \(\mathcal A\) une matrice carrée d'ordre \(n\).
Une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice \(\mathcal A\) soit inversible est que \(r\) soit égal à \(n\) (avec les notations précédentes).
Preuve :
Supposons que \(r=n\) . Alors, on a la relation \(\mathcal{PAQ}=\mathcal I_n\). Or les matrices élémentaires sont inversibles, donc aussi \(\mathcal P\) et \(\mathcal Q\).
Donc l'égalité précédente implique immédiatement l'égalité \(\mathcal A=\mathcal P^{-1}\mathcal I_n\mathcal Q^{-1}=\mathcal P^{-1}\mathcal Q^{-1}\). Donc la matrice \(\mathcal A\) est inversible en tant que produit de matrices inversibles.
Réciproquement : Supposons \(\mathcal A\) inversible. Si \(r\) est strictement inférieur à \(n\), les matrices \(\mathcal P \textrm{ et }\mathcal Q\) vérifient donc l'égalité \(\mathcal{PAQ}=\left(\begin{array}{cccccc}\mathcal I_r&O\\O&O\end{array}\right)\). Comme \(\mathcal A, \mathcal P \textrm{ et }\mathcal Q\) sont inversibles (voir ci-dessus), la matrice \(\left(\begin{array}{cccccc}\mathcal I_r&O\\O&O\end{array}\right)\) est aussi inversible. Ceci est absurde. En effet, le produit, par exemple à droite, de la matrice\( \left(\begin{array}{cccccc}\mathcal I_r&O\\O&O\end{array}\right)\) par n'importe quelle matrice carrée d'ordre \(n\), aura ses \(n-r\) dernières lignes nulles et ne pourra donc pas être égal à la matrice unité.
Corollaire :
Si\( \mathcal A\) est inversible et si avec \(\mathcal P\) et \(\mathcal Q\) produit de matrices élémentaires, l'inverse de \(\mathcal A\) est donné par la formule :\(\mathcal A^{-1}=\mathcal{QP}\) .
Cela résulte immédiatement de l'égalité \(\mathcal A=\mathcal P^{-1}\mathcal Q^{-1}\) et des propriétés de l'inverse d'un produit. Une méthode algorithmique pour calculer \(\mathcal P\) et \(\mathcal Q\) existe, donc ce résultat donne une méthode pratique pour calculer explicitement l'inverse d'une matrice.
Il y en a une autre, plus algorithmique et en général plus courte.