Matrices carrées

Soit \(\mathcal A\) une matrice carrée inversible d'ordre n. On peut appliquer la démarche algorithmique qui a été exposée pour trouver\( \mathcal P\) et \mat\(hcalQ\) en faisant des opérations uniquement sur les lignes ou (exclusif) uniquement sur les colonnes. Dans le premier cas, on trouve une matrice telle que,

\(\mathcal P'\mathcal A=\mathcal I_n\)

Dans le second, on trouve une matrice \(\mathcal Q'\) telle que

\(\mathcal A\mathcal Q'=\mathcal I_n\)

Dans un cas comme dans l'autre, cela donne immédiatement l'inverse de\( \mathcal A\).

En effet \(\mathcal A^{-1}=\mathcal Q'=\mathcal P'\).

Dans la pratique, quand on applique les mêmes opérations sur les lignes (respectivement colonnes) de \(\mathcal I_n\) on trouve la matrice \(\mathcal P'\mathcal I_n=\mathcal P'\) (respectivement \(\mathcal I_n\mathcal Q'=\mathcal Q'\)).

Donc, on menant en parallèle les deux calculs, d'un côté l'on trouve \(\mathcal I_n\) et de l'autre\( \mathcal A^{-1}\).