Rang de matrice (détermination avec définition)
Partie
Question
Déterminer le rang de la matrice réelle \(M=\left(\begin{array}{cccc}1&1&2&3\\2&0&2&2\\-1&1&2&5\\1&1&1&1\\3&2&-1&-5\end{array}\right)\) en se servant de la définition du rang d'une matrice.
Aide simple
Considérer les quatre vecteurs de \(R^5\)
\(C_1=(1,2,-1,1,3)\)
\(C_2=(1,0,1,1,2)\)
\(C_3=(2,2,2,1,-1)\)
\(C_4=(3,2,5,1,-5)\)
et remarquer qu'ils ont même rang que \(C_1,C_2-C_1,C_3-2C_1,C_4-3C_1\).
Aide méthodologique
La méthodologie est celle qui permet de définir le rang d'une famille de vecteurs :
Si \(v_1,v_2,...,v_p\) sont \(p\) vecteurs, \(v_1\) non nul, choisir des scalaires \(\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_p\) de telle sorte que la première coordonnée de chacun des \(p-1\) vecteurs \(v^\prime_2=v_2-\alpha_2v_1,v^\prime_3=v_3-\alpha_3v_1,...,v^\prime_p=v_p-\alpha_pv_1\) soit nulle .
Puis recommencer la même démarche avec les vecteurs \(v^\prime_2,v^\prime_3,...,v^\prime_p\) pour annuler la deuxième coordonnée de \(p-2\) vecteurs, etc.
Aide à la lecture
Par définition, le rang d'une matrice appartenant à \(M_{n,p}(R)\) est la dimension du sous-espace vectoriel de \(R^n\) engendré par ses \(p\) vecteurs colonnes ; c'est donc le rang de ses \(p\) vecteurs colonnes.
Donc le rang est à la fois inférieur à \(n\) et à \(p\).
Solution détaillée
Le rang de \(M\) est 3
Le rang d'une matrice est le rang de ses vecteurs colonnes. Déterminer le rang de la matrice \(M\) revient à déterminer le rang des quatre vecteurs \(C_1,C_2,C_3,C_4\) de \(R^5\) suivants :
\(C_1=(1,2,-1,1,3)\)
\(C_2=(1,0,1,1,2)\)
\(C_3=(2,2,2,1,-1)\)
\(C_4=(3,2,5,1,-5)\)
Donc ce rang est inférieur ou égal à 4.
Ces quatre vecteurs ont le même rang que les quatre vecteurs \(C_1^t,C_2^t,C_3^t,C_4^t\) suivants :
\(\begin{array}{lllllll}C^\prime_1=&C_1&&&=&(1,2,-1,1,3)&\\C^\prime_2=&C_2&-&C_1&=&(0,-2,2,0,-1)&\\C^\prime_3=&C_3&-&2C_1&=&(0,-2,4,-1,-7)&\\C^\prime_4=&C_4&-&3C_1&=&(0,-4,8,-2,-14)&\end{array}\)
qui ont même rang que les quatre vecteurs \(C^{\prime\prime}_1,C^{\prime\prime}_2,C^{\prime\prime}_3,C^{\prime\prime}_4\) suivants :
\(\begin{array}{cccccc}C^{\prime\prime}_1=&C_1&&&=&(1,2,-1,1,3)\\C^{\prime\prime}_2=&C^{\prime}_2&&&=&(0,-2,2,0,-1)\\C^{\prime\prime}_3=&C^{\prime}_3&-&C^{\prime}_2&=&(0,0,2,-1,-6)\\C^{\prime\prime}_4=&C^{\prime}_4&-&2C^{\prime}_2&=&(0,0,4,-2,-12)\end{array}\)
Les deux derniers vecteurs étant colinéaires, on en déduit que le rang des vecteurs \(C''_1,C''_2,C''_3,C''_4\) est 3.
Donc le rang de \(M\) est 3.