Rang de matrices
Partie
\(A=\left(\begin{array}{ccccc}1&1&-1&3&1\\2&-1&4&3&8\\1&0&1&2&3\\-1&2&-5&0&-7\end{array}\right)\), \(B=\left(\begin{array}{cccc}1&1&0&1\\2&1&-3&2\\-1&-1&1&1\\1&2&2&1\end{array}\right)\), \(C=\left(\begin{array}{ccc}2&1&4\\1&0&3\\1&2&-1\end{array}\right)\)
Question
Déterminer les rangs des matrices \(A, B\) et \(C\) suivantes en se servant des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes des matrices.
Aide simple
Par exemple, soustraire de la deuxième ligne de \(A\) deux fois la première ligne pour obtenir un 0 sur la deuxième ligne, première colonne, et faire de même pour avoir des 0 sur la troisième et quatrième ligne, première colonne.
Aide méthodologique
Le rang d'une matrice \(M\) appartenant à \(M_{n,p}(R)\) est le rang de ses \(p\) vecteurs colonnes ; comme la matrice \(M\) a le même rang que sa transposée \(\quad^tM\), le rang de \(M\) est aussi le rang de ses \(n\) vecteurs lignes.
On ne change pas le rang d'une matrice en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes.
Solution détaillée
Le rang de \(A\) est 2, celui de \(B\) est 4 et celui de \(C\) est 2.
Le rang d'une matrice \(M\) appartenant à \(M_{n,p}(R)\) est le rang de ses \(p\) vecteurs colonnes ; comme la matrice \(M\) a le même rang que sa transposée \(\quad^tM\), le rang de \(M\) est aussi le rang de ses \(n\) vecteurs lignes.
On ne change pas le rang d'une matrice en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes.
Soit la matrice \(A\) :
\(A=\left(\begin{array}{ccccc}1&1&-1&3&1\\2&-1&4&3&8\\1&0&1&2&3\\-1&2&-5&0&-7\end{array}\right)\)
En notant \(L_i,1\le i\le4\), la i-ème ligne des matrices considérées, le rang de \(A\) est égal au rang de la matrice \(A'\) obtenue en remplaçant les lignes \(L_2\) par la ligne \(L_2-2L_1\), \(L_3\) par \(L_3-L_1\) et \(L_4\) par \(L_4+L_1\). On obtient :
\(A'=\left(\begin{array}{ccccc}1&1&-1&3&1\\0&-3&6&-3&6\\0&-1&2&-1&2\\0&3&-6&3&-6\end{array}\right)\begin{array}{cccccc}L_1&\leftarrow&L_1\\L_1&\leftarrow&L_2-2L_1\\L_3&\leftarrow&L_3-L_1\\L_4&\leftarrow&L_4+L_1\end{array}\)
Le rang de \(A'\) est égal au rang de la matrice \(A''\) obtenue en remplaçant la ligne \(L_3\) par la ligne \(L_3-\frac1{3}L_2\) et la ligne \(L_4\) par la ligne \(L_4+L_2\). On obtient :
\(A'=\left(\begin{array}{ccccc}1&1&-1&3&1\\0&-3&6&-3&6\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right)\begin{array}{cccccc}L_1&\leftarrow&L_1\\L_2&\leftarrow&L_2\\L_3&\leftarrow&L_3-\frac{1}3L_2\\L_4&\leftarrow&L_4+L_2\end{array}\)
Le rang de \(A''\) est 2 puisque c'est le rang des vecteurs lignes. Donc le rang de \(A\) est 2.
Soit la matrice B :
\(B=\left(\begin{array}{cccc}1&1&0&1\\2&1&-3&2\\-1&-1&1&1\\1&2&2&1\end{array}\right)\)
On emploie la même méthode pour la matrice B. On obtient successivement :
\(B'=\left(\begin{array}{cccc}1&0&1&1\\0&1&-5&0\\0&-1&2&2\\0&2&1&0\end{array}\right)\begin{array}{cccccc}L_1&\leftarrow&L_1\\L_1&\leftarrow&L_2-2L_1\\L_3&\leftarrow&L_3+L_1\\L_4&\leftarrow&L_4-L_1\end{array}\)
\(B''=\left(\begin{array}{cccc}1&0&1&1\\0&1&-5&0\\0&0&-3&2\\0&0&11&0\end{array}\right)\begin{array}{cccccc}L_1&\leftarrow&L_1\\L_2&\leftarrow&L_2\\L_3&\leftarrow&L_3+L_2\\L_4&\leftarrow&L_4-2L_2\end{array}\)
En échangeant les troisième et quatrième colonnes, on obtient
\(B'''=\left(\begin{array}{cccc}1&0&1&1\\0&1&0&-5\\0&0&2&-3\\0&0&0&11\end{array}\right)\)
Il est alors immédiat \(B'''\) que la matrice a un rang égal à 4 donc \(B\) est de rang 4.
Soit la matrice C :
\(C=\left(\begin{array}{c c c}2&1&4\\1&0&3\\1&2&-1\end{array}\right)\)
Avec la matrice C on obtient :
\(C'=\left(\begin{array}{c c c}2&1&4\\0&-1&2\\0&3&-6\end{array}\right)\begin{array}{cccccc}L_1&\leftarrow&L_1\\L_2&\leftarrow&L_2-\frac{1}2L_1\\L_3&\leftarrow&L_3-\frac{1}2L_1\end{array}\)
Les deux dernières lignes étant colinéaires, on en déduit que le rang de \(C'\) est 2. Donc le rang de \(C\) est 2.
Question
Quelles sont parmi ces matrices celles qui sont inversibles ?
Aide simple
Par exemple, soustraire de la deuxième ligne de \(A\) deux fois la première ligne pour obtenir un 0 sur la deuxième ligne, première colonne, et faire de même pour avoir des 0 sur la troisième et quatrième ligne, première colonne.
Aide méthodologique
Le rang d'une matrice \(M\) appartenant à \(M_{n,p}(R)\) est le rang de ses \(p\) vecteurs colonnes ; comme la matrice \(M\) a le même rang que sa transposée \(\quad^tM\), le rang de \(M\) est aussi le rang de ses \(n\) vecteurs lignes.
On ne change pas le rang d'une matrice en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes.
Solution détaillée
La notion de matrice inversible n'est définie que pour les matrices carrées.
Une matrice carrée d'ordre \(n\) est inversible si et seulement si son rang est égal à \(n\).
Donc seule la matrice \(B\) est inversible.