Rang et matrices annulatrices
Partie
Soit la matrice \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&-1&2&-1\\-1&2&4&-2\\2&-3&-3&2\end{array}\right)\)
Question
En utilisant une démarche algorithmique, calculer le rang de \(A\) et trouver des matrices \(P\) et \(Q\), sous forme de produits de matrices élémentaires, telles que :
\(P\in M_3(R),Q\in M_4(R),PAQ=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right)\)
On ne demande pas les valeurs explicites de \(P\) et \(Q\).
Aide à la lecture
Le but de l'exercice est de montrer qu'on peut associer à cette matrice \(A\) une matrice carrée non nulle \(B\) telle que \(AB=0\) mais qu'il n'existe pas de matrice carrée non nulle \(C\) telle que \(CA=0\).
Aide méthodologique
Mettre en œuvre une démarche algorithmique utilisant des transformations élémentaires sur les matrices.
Solution détaillée
En appliquant à la matrice \(A\) la démarche algorithmique de réduction d'une matrice par des transformations élémentaires, opérations conservant le rang, on obtient :
En regroupant les diverses transformations on obtient
\(\underbrace{\left[T_{3,2}(1)T_{3,1}(-2)T_{2,1}(1)\right]}_PA\underbrace{\left[T_{1,2}(1)T_{1,3}(-2)T_{1,4}(1)T_{2,3}(-6)T_{2,4}(3)\Delta_{3,4}T_{3,4}(1)\right]}_Q=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right)\)
Ainsi \(r=3\) donc \(\mathrm{rang}(A)=3\) et les matrices \(P=T_{3,2}(1)T_{3,1}(-2)T_{2,1}(1)\) et \(Q=T_{1,2}(1)T_{1,3}(-2)T_{1,4}(1)T_{2,3}(-6)T_{2,4}(3)\Delta_{3,4}T_{3,4}(1)\) répondent à la question.
Question
Après avoir effectué le produit matriciel \(NM\), où \(M\) est une matrice quelconque de \(M_4(R)\) et \(N=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right)\), construire une matrice carrée \(M_0\), non nulle, possédant le plus grand nombre possible de coefficients égaux à 1, vérifiant \(NM_0=O_{3,4}\).
En déduire l'existence et la construction d'une matrice \(B\) satisfaisant à : \(B\in M_4(R),B\ne O_4,AB=O_{3,4}\)
Aide à la lecture
Le but de l'exercice est de montrer qu'on peut associer à cette matrice \(A\) une matrice carrée non nulle \(B\) telle que \(AB=0\) mais qu'il n'existe pas de matrice carrée non nulle \(C\) telle que \(CA=0\).
Aide méthodologique
Traduire sur \(M_0\) les transformations induites par la multiplication à gauche par \(Q\).
Solution détaillée
Soit \(M=\left(\begin{array}{cccc}a_1&b_1&c_1&d_1\\a_2&b_2&c_2&d_2\\a_3&b_3&c_3&d_3\\a_4&b_4&c_4&d_4\end{array}\right)\).
Alors \(NM=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}a_1&b_1&c_1&d_1\\a_2&b_2&c_2&d_2\\a_3&b_3&c_3&d_3\\a_4&b_4&c_4&d_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a_1&b_1&c_1&d_1\\a_2&b_2&c_2&d_2\\a_3&b_3&c_3&d_3\end{array}\right)\)
Donc si les trois premières lignes de \(M\) sont nulles le produit sera nul.
Prenons \(M_0=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&1&1&1\end{array}\right)\) alors \(M_0\ne O_4\) et \(NM_0=O_{3,4}\).
A partir de \(PAQ=N\) et \(NM_0=O_{3,4}\), on obtient \(PA(QM_0)=O_{3,4}\) avec la matrice \(P\) inversible donc \(A(QM_0)=P^{-1}O_{3,4}=O_{3,4}\). Or \(Q\) est inversible et \(M_0\) non nulle, en utilisant un raisonnement par l'absurde, on montre \(QM_0\ne O_4\). La matrice produit \(B=QM_0\) est donc une solution.
Construction algorithmique de \(B\) à partir de \(M_0:B=\left[T_{1,2}(1)T_{1,3}(-2)T_{1,4}(1)T_{2,3}(-6)T_{2,4}(3)\Delta_{3,4}T_{3,4}(1)\right]M_0\)
Ce sont des multiplications à gauche qui vont se traduire par des transformations sur les lignes
Question
Après avoir effectué le produit matriciel \(TN\), où \(T\) est une matrice quelconque de \(M_3(R)\), montrer l'équivalence logique : \(TN=O_{3,4}\Leftrightarrow T=O_3\).
En déduire qu'il n'existe pas de matrice \(C\) satisfaisant à : \(C\in M_3(R),C\ne O_3,CA=O_{3,4}\)
Aide à la lecture
Le but de l'exercice est de montrer qu'on peut associer à cette matrice \(A\) une matrice carrée non nulle \(B\) telle que \(AB=0\) mais qu'il n'existe pas de matrice carrée non nulle \(C\) telle que \(CA=0\).
Aide méthodologique
Raisonner par l'absurde.
Solution détaillée
Soit \(T=\left(\begin{array}{ccc}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{array}\right)\)
Alors \(TN=\left(\begin{array}{ccc}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}x_1&y_1&z_1&0\\x_2&y_2&z_2&0\\x_3&y_3&z_3&0\end{array}\right)\)
Il est alors immédiat \(TN=O_{3,4}\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cccccc}x_1&y_1&z_1&0\\x_2&y_2&z_2&0\\x_3&y_3&z_3&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\Leftrightarrow\left(\begin{array}{ccccccc}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)\Leftrightarrow T=O_3\)
On raisonne par l'absurde, supposons qu'il existe une matrice \(C\) satisfaisant à : \(C\in M_3(R),C\ne O_3,CA=O_{3,4}\).
Or \(PAQ=N\) donc \(A=P^{-1}NQ^{-1}\) et \(C(P^{-1}NQ^{-1})=O_{3,4}\) d'où \((CP^{-1})N=O_{3,4}Q=O_{3,4}\). On en déduit en appliquant l'équivalence précédente \(CP^{-1}=O_3\) et enfin \(C=O_3P=O_3\) résultat en contradiction avec la propriété \(C\ne O_3\).
Remarque :
La matrice \(A\) est de rang 3, entier égal au nombre de lignes de \(A\) et strictement inférieur à son nombre de colonnes. Alors on a pu construire une matrice carrée, "annulatrice à droite" de \(A\) (\(B\) carrée, d'ordre 4, non nulle et \(AB=0\)), par contre on ne peut pas construire de matrice carrée, "annulatrice à gauche" de \(A\) (\(C\) carrée, non nulle et \(CA=0\)).
La matrice \(B\) n'est pas unique. A partir de toute matrice carrée d'ordre 4, non nulle, ayant ses trois premières lignes nulles, on peut construire une matrice "annulatrice à droite" de \(A\).