Déterminant du produit de deux matrices
On a le résultat suivant :
Théorème : Déterminant du produit de deux matrices
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées d'ordre \(n\), avec \(n\) supérieur ou égal à 2. Alors : \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)
Preuve :
La preuve est encore basée sur la formule explicite du déterminant.
Soit \(Q=AB\). Les notations utilisées pour les colonnes des matrices sont celles introduites au début de cette ressource ( \(A_j\) désigne la \(j\)-ième colonne de la matrice A).
Il résulte des règles du produit de deux matrices que la \(k\)-ième colonne de \(Q\) est donnée par la formule : \(Q_k=b_{1,k}A_1+b_{2,k}A_2+\ldots+b_{n,k}A_n\).
Alors en faisant un calcul analogue à celui fait pour démontrer l'unicité du déterminant d'une matrice, il vient
\(\det(Q)=\det(Q_1,Q_2,\ldots,Q_n)=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}}\left[\epsilon(\sigma)b_{\sigma(1),1}b_{\sigma(2),2}\ldots b_{\sigma(n),n}\right]=\det B\) sous sa forme explicite.
Remarque :
Le déterminant a un bon comportement par rapport au produit.
En revanche, il n'y a pas de résultat du même type pour la somme de deux matrices.
Conséquences
Déterminant d'une matrice inversible
Soit \(M\) une matrice inversible. Cela signifie qu'il existe une matrice, notée M^{-1}, de même type que \(M\) telle que \(MM^{-1}=M^{-1}M=I_n\).
Alors, d'après le résultat précédent, \(\det(MM^{-1})=\det(M)\det(M^{-1})=\det I_n=1\). D'où les deux propriétés suivantes :
Propriété : Déterminant d'une matrice inversible
Si \(M\) est une matrice inversible, son déterminant est non nul et l'on a la relation : \(\det(M^{-1})=\left[\det(M)\right]^{-1}\)
Remarque :
La réciproque de la première partie de cette proposition est vraie, c'est une des applications intéressantes des déterminants. Ce point sera traité à la fin de cette ressource.
Déterminant de deux matrices semblables
C'est une conséquences immédiate du théorème et de la proposition précédents.
Propriété : Déterminant de deux matrices semblables
Deux matrices semblables ont le même déterminant.
Preuve :
Soient \(M\) et \(N\) deux matrices semblables. Alors il existe une matrice inversible \(P\) telle que : \(M=PNP^{-1}\).
D'après la formule du produit : \(\det M=\det(M=PNP^{-1})=\det(P)\det(N)\det(P^{-1})\)
ce qui donne en utilisant la formule du déterminant de l'inverse d'une matrice : \(\det M=\det(M=PNP^{-1})=\det(P)\det(N)\left[\det(P^{-1})\right]^{-1}=\det(N)\)
(ne pas oublier que dans le corps \(K\), le produit est commutatif).