Indépendance d'une famille de vecteurs dépendant d'un paramètre
Partie
Question
On considère dans l'espace vectoriel \(R^3\) les trois triplets :
\(u_1=(m-2,2m-2,-1)\), \(u_2=(2,m^2-m,2)\) et \(u_3=(2m,2m^2-2,m+1)\)
La lettre \(m\) désigne un paramètre réel.
Pour quelles valeurs de \(m\) ces trois vecteurs déterminent-ils une base de \(R^3\)?
Déterminer suivant les valeurs de \(m\) le rang de la famille \(\{u_1,u_2,u_3\}\).
Aide simple
On calcule le déterminant des vecteurs ; puisqu'on cherche les valeurs de \(m\) qui annulent ce déterminant on utilise une méthode de calcul qui donne une factorisation de ce déterminant. Plutôt que la règle de Sarrus ou un développement direct suivant une ligne ou une colonne, on utilise ici de préférence les propriétés des déterminants et la forme particulière de celui-ci pour faire apparaître un facteur commun dans une ligne ou une colonne.
Aide méthodologique
Une famille de trois vecteurs de \(R^3\) est libre si et seulement si le déterminant de ces trois vecteurs est non nul.
Le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace engendré par ces vecteurs, c'est aussi le nombre maximal de vecteurs linéairement indépendants que l'on peut extraire de cette famille : ce nombre est égal à l'ordre maximal des mineurs non nuls que l'on peut extraire de la matrice des coordonnées de ces vecteurs relativement à une base quelconque.
Aide à la lecture
La dimension de \(R^3\) est égale à 3, et on considère ici une famille de 3 vecteurs, donc elle détermine une base de \(R^3\) si et seulement si elle est libre.
Solution détaillée
Le déterminant des vecteurs \(u_1,u_2,u_3\) est :
\(D=\left|\begin{array}{ccc}m-2&2&2m\\2m-2&m^2-m&2m^2-2\\-1&2&m+1\end{array}\right|\)
On peut d'abord remarquer qu'on peut mettre en facteur \((m-1)\) dans tous les éléments de la seconde ligne, ce qui permet une première factorisation de \(D\) :
\(D=(m-1)\left|\begin{array}{ccc}m-2&2&2m\\2&m&2m+2\\-1&2&m+1\end{array}\right|\)
On observe ensuite qu'en retranchant la troisième ligne de la première (\(L_1\leftarrow L_1-L_3\)), on obtient une deuxième factorisation par \((m-1)\):
\(D=(m-1)\left|\begin{array}{ccc}m-1&0&m-1\\2&m&2m+2\\-1&2&m+1\end{array}\right|=(m-1)^2\left|\begin{array}{ccc}1&0&1\\2&m&2m+2\\-1&2&m+1\end{array}\right|\)
On fait ensuite la transformation \(C_3\leftarrow C_3-C_1\), puis on développe suivant la première ligne.
\(D=(m-1)^2\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&m&2m\\-1&2&m+2\end{array}\right|=m(m-1)^2(m-2)\)
La famille \(\{u_1,u_2,u_3\}\) détermine donc une base de \(R^3\) si et seulement si \(m\in R\backslash \{0,1,2\}\).
Pour \(m\in R\backslash \{0,1,2\}\) la famille \(\{u_1,u_2,u_3\}\) est libre, son rang est donc égal à 3.
Etudions maintenant les cas \(m=0\),\(m=1\),\(m=2\).
Les vecteurs \(u_1,u_2,u_3\) étant linéairement dépendants, on sait que le rang de \(\{u_1,u_2,u_3\}\) est strictement inférieur à 3 pour chacune de ces valeurs de \(m\).
Si \(m=0\) on a : \(u_1=(-2,-2,-1)\), \(u_2=(2,0,2)\), et \(u_3=(0,-2,1)\)
La matrice des coordonnées de ces trois vecteurs dans la base canonique est :
\(\left(\begin{array}{ccc}-2&2&0\\-2&0&-2\\-1&2&1\end{array}\right)\)
On peut extraire un mineur d'ordre 2 non nul, par exemple \(\left|\begin{array}{cc}-2&2\\-2&0\end{array}\right|=-4\).
Le rang de \(\{u_1,u_2,u_3\}\) est donc égal à 2.
Si \(m=1\) on a : \(u_1=(-1,0,-1)\), \(u_2=(2,0,2)\), et \(u_3=(2,0,2)\)
La matrice des coordonnées de ces trois vecteurs dans la base canonique est :
\(\left(\begin{array}{ccc}-1&2&2\\0&0&0\\-1&2&2\end{array}\right)\)
Tous les mineurs d'ordre 2 sont nuls, car, ou bien ils ont une ligne de 0, ou bien ils ont deux lignes identiques.
Le rang de \(\{u_1,u_2,u_3\}\) est donc strictement inférieur à 2.
La famille contenant au moins un vecteur non nul, le rang est égal à 1 (on pouvait également extraire un mineur d'ordre 1 non nul !).
Si \(m=2\) on a : \(u_1=(0,2,-1)\), \(u_2=(2,2,2)\), et \(u_3=(4,6,3)\)
La matrice des coordonnées de ces trois vecteurs dans la base canonique est :
\(\left(\begin{array}{ccc}0&2&4\\2&2&6\\-1&2&3\end{array}\right)\)
On peut extraire un mineur d'ordre 2 non nul, par exemple \(\left|\begin{array}{cc}0&2\\2&2\end{array}\right|=-4\).
Le rang de \(\{u_1,u_2,u_3\}\) est donc égal à 2.