Équation cartésienne d'un plan vectoriel dans R3
Partie
Question
On considère dans l'espace vectoriel \(R^3\) les deux vecteurs :
\(u_1=(-2,2,1)\), \(u_2=(2,0,3)\)
Vérifier que ces deux vecteurs sont linéairement indépendants.
Déterminer une équation cartésienne du plan vectoriel \(F\) engendré par \(\{u_1,u_2\}\).
Aide méthodologique
Pour démontrer que les deux vecteurs \(u_1,u_2\) sont linéairement indépendants il suffit d'extraire un mineur d'ordre 2 non nul de la matrice des coordonnées de \(u_1,u_2\).
Les vecteurs \(u_1,u_2\) étant linéairement indépendants, un vecteur \(v=(x,y,z)\) de \(R^3\) est combinaison linéaire de \(u_1,u_2\) si et seulement si la famille \(\{v,u_1,u_2\}\) est liée.
Aide à la lecture
Les vecteurs \(u_1,u_2\) étant linéairement indépendants, le sous-espace vectoriel \(F\) engendré par ces deux vecteurs est de dimension 2 et \(\{u_1,u_2\}\) détermine une base de ce sous-espace : \(F\) est donc un plan vectoriel de \(R^3\).
Une équation cartésienne de ^\(\)est une condition nécessaire et suffisante pour qu'un vecteur \(v=(x,y,z)\) de \(R^3\) appartienne à \(F\).
Solution détaillée
La matrice des coordonnées des vecteurs \(u_1,u_2\) est :
\(\left(\begin{array}{cc}-2&2\\2&0\\1&3\end{array}\right)\)
On peut en extraire un mineur non nul, par exemple \(\left|\begin{array}{cc}-2&2\\2&0\end{array}\right|=-4\)
Les vecteurs \(u_1,u_2\) sont donc linéairement indépendants.
Remarque
On pouvait justifier que les vecteurs \(u_1,u_2\) sont linéairement indépendants en remarquant que la deuxième composante de \(u_2\) est nulle alors que ce n'est pas le cas pour \(u_1\), donc ils ne sont pas colinéaires.
Un vecteur \(v=(x,y,z)\) de \(R^3\) appartient à \(F\) si et seulement si \(v\) est combinaison linéaire de \(u_1,u_2\); les vecteurs \(u_1,u_2\) étant linéairement indépendants, ceci est équivalent à la propriété " la famille \(\{v,u_1,u_2\}\) est liée ".
D'où \(v\in F\Leftrightarrow \det(v,u_1,u_2)=0\).
On obtient donc la condition nécessaire et suffisante :
\(\left|\begin{array}{ccc}x&-2&2\\y&2&0\\z&1&3\end{array}\right|=0\)
D'où, en développant suivant la première colonne :
\(x\left|\begin{array}{cc}2&0\\1&3\end{array}\right|-y\left|\begin{array}{cc}-2&2\\1&3\end{array}\right|+z\left|\begin{array}{cc}-2&2\\2&0\end{array}\right|=0\)
\(6x+8y-4z=0\)
Une équation cartésienne du plan vectoriel \(F\) est donc :
\(3x+4y-2z=0\)