Interprétation vectorielle d'un système linéaire
Partie
Question
Soit le système dépendant du paramètre réel \(\lambda\):
\(\left\{\begin{array}{ccccccccc}2x&+&y&+&z&-&4t&=&0\\-x&+&3y&+&z&-&3t&=&2\\3x&+&2y&-&3z&-&2t&=&5\lambda\\x&-&2y&-&z&+&2t&=&-\lambda\end{array}\right.\)
Quelle interprétation vectorielle dans \(R^4\) peut-on donner à ce système ?
Quelle valeur doit-on donner au paramètre réel \(\lambda\) pour que ce système ait un ensemble de solutions non vide ?
Aide simple
Plutôt que de calculer le déterminant, on peut remarquer qu'il existe une relation simple entre les 4 vecteurs \(V_1,V_2,V_3,V_4\) et prouver ainsi que ces vecteurs sont linéairement dépendants.
Pour démontrer que \(V_1,V_2,V_3\) forment une famille libre, on peut extraire de la matrice de leurs coordonnées un mineur d'ordre 3 non nul bien choisi (c'est-à-dire facile à calculer).
Exprimer ensuite à l'aide d'un déterminant la propriété :
' W est combinaison linéaire des 3 vecteurs linéairement indépendants \(V_1,V_2,V_3\)'
Aide méthodologique
La dimension de \(R^4\) est égale à 4, donc, si les 4 vecteurs \(V_1,V_2,V_3,V_4\) sont linéairement indépendants, ils déterminent une base de \(R^4\), et tout vecteur \(W\) s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire de \(V_1,V_2,V_3,V_4\).
Sinon, il faut déterminer le sous-espace engendré par ces vecteurs et trouver l'ensemble des valeurs de \(\lambda\) pour lesquelles \(W\) appartient à ce sous-espace.
Aide à la lecture
Il s'agit d'un système linéaire de 4 équations à 4 inconnues. On peut interpréter ce système comme l'égalité vectorielle : \(xV_1+yV_2+zV_3+tV_4=W\), où les vecteurs \(V_1,V_2,V_3,V_4,W\) sont des vecteurs de \(R^4\).
La question posée peut être reformulée de la façon suivante :
Quelle valeur doit-on donner au paramètre réel \(\lambda\) pour que le vecteur \(W\) soit combinaison linéaire des 4 vecteurs \(V_1,V_2,V_3,V_4\)?
Solution détaillée
Le système proposé peut être interprété comme l'égalité vectorielle : \(xV_1+yV_2+zV_3+tV_4=W\)
où les vecteurs \(V_1,V_2,V_3,V_4,W\) sont les vecteurs de \(R^4\) dont les coordonnées dans la base canonique sont respectivement :
\(\left(\begin{array}{c}2\\-1\\3\\1\end{array}\right)\), \(\left(\begin{array}{c}1\\3\\2\\-2\end{array}\right)\), \(\left(\begin{array}{c}1\\1\\-3\\-1\end{array}\right)\), \(\left(\begin{array}{c}-4\\-3\\-2\\2\end{array}\right)\),\(\left(\begin{array}{c}0\\2\\5\lambda\\-\lambda\end{array}\right)\)
On cherche donc les valeurs de \(\lambda\) telles que le vecteur \(W\) puisse s'écrire comme combinaison linéaire de \(V_1,V_2,V_3,V_4\).
Ce sont quatre vecteurs de \(R^4\), s'ils sont linéairement indépendants ils déterminent une base de \(R^4\) et le système a une solution unique quelque soit \(\lambda\), sinon il faut déterminer le sous-espace engendré par \(\{V_1,V_2,V_3,V_4\}\).
Plutôt que de calculer le déterminant on peut remarquer que la somme de ces quatre vecteurs est nulle, donc ces vecteurs sont linéairement dépendants et le sous-espace engendré par \(\{V_1,V_2,V_3,V_4\}\) est égal à celui engendré par \(\{V_1,V_2,V_3\}\).
Pour justifier que ces trois vecteurs sont linéairement indépendants on peut extraire un mineur d'ordre 3 non nul de la matrice de leurs coordonnées :
\(\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\-1&3&1\\3&2&-3\\1&-2&-1\end{array}\right)\)
En extrayant les trois premières lignes on obtient le déterminant :
\(\left|\begin{array}{ccc}2&1&1\\-1&3&1\\3&2&-3\end{array}\right|\)
En additionnant la troisième colonne à la première et en développant suivant la première colonne, on a :
\(\left|\begin{array}{ccc}3&1&1\\0&3&1\\0&2&-3\end{array}\right|=3(-9-2)=-33\)
Les trois vecteurs \(\{V_1,V_2,V_3\}\) étant linéairement indépendants, le vecteur \(W\) est combinaison linéaire de \(V_1,V_2,V_3\), si et seulement si la famille \(\{V_1,V_2,V_3,W\}\) est liée donc si et seulement si le déterminant de ces quatre vecteurs est nul.
\(D_\lambda=\left|\begin{array}{cccc}2&1&1&0\\-1&3&1&2\\3&2&-3&5\lambda\\1&-2&-1&-\lambda\end{array}\right|\)
On fait la transformation \(C_4\leftarrow C_4-C_2+C_3\) qui fait apparaître une factorisation par \((\lambda-1)\):
\(D_\lambda=\left|\begin{array}{cccc}2&1&1&0\\-1&3&1&0\\3&2&-3&5\lambda-5\\1&-2&-1&-\lambda+1\end{array}\right|=(\lambda-1)\left|\begin{array}{cccc}2&1&1&0\\-1&3&1&0\\3&2&-3&5\\1&-2&-1&-1\end{array}\right|=(\lambda-1)\Delta\)
Pour s'assurer que \(\lambda=1\) est la seule solution, il reste à vérifier que \(\Delta\) est non nul.
\(\Delta=\left|\begin{array}{cccc}2&1&1&0\\-1&3&1&0\\3&2&-3&5\\1&-2&-1&-1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}3&1&1&0\\0&3&1&0\\0&2&-3&5\\0&-2&-1&-1\end{array}\right|\) \(C_1\leftarrow C_1+C_3\)
\(\Delta=3\left|\begin{array}{ccc}3&1&0\\2&-3&5\\-2&-1&-1\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc}3&1&-2\\2&-3&0\\-2&-1&0\end{array}\right|\) \(C_3\leftarrow C_3+C_2-C_1\)
\(\Delta=3\times(-2)\times(-8)=48\)
Le système proposé admet donc un ensemble de solutions non vide si et seulement si \(\lambda=1\). On peut prévoir qu'il a une infinité de solutions car la famille \(\{V_1,V_2,V_3,V_4\}\) est liée.