Applications des déterminants

1. On peut calculer directement le déterminant de \(A_\alpha\) en le développant suivant la troisième ligne ou la troisième colonne.

   \(\det A_\alpha=\left|\begin{array}{ccc}\cos\alpha&-1&0\\1&\cos\alpha&0\\0&0&\sin\alpha\end{array}\right|=\sin\alpha(1+\cos^2\alpha)\)

   Le déterminant est non nul si et seulement si \(\sin\alpha\neq 0\) donc pour \(\alpha\in]0,\pi[\cup]\pi,2\pi[\)

   Dans ce cas la matrice est inversible et son rang est égal à 3.

   L'inverse de \(A_\alpha\) est donné par : \((A_\alpha)^{-1}=\frac{1}{\det A_\alpha}^t(\textrm{com} A_\alpha)\)

   La comatrice de \(A_\alpha\) est :

   \(\textrm{com} A_\alpha=\left(\begin{array}{ccc}\sin\alpha\cos\alpha&-\sin\alpha&0\\\sin\alpha&\sin\alpha\cos\alpha&0\\0&0&1+\cos^2\alpha\end{array}\right)\)

   D'où \((A_\alpha)^{-1}=\frac{1}{\sin\alpha(1+\cos^2\alpha)}\left(\begin{array}{ccc}\sin\alpha\cos\alpha&\sin\alpha&0\\-\sin\alpha&\sin\alpha\cos\alpha&0\\0&0&1+\cos^2\alpha\end{array}\right)\)

   \((A_\alpha)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\cos\alpha}{1+\cos^2\alpha}&\frac{1}{1+\cos^2\alpha}&0\\\frac{-1}{1+\cos^2\alpha}&\frac{\cos\alpha}{1+\cos^2\alpha}&0\\0&0&\frac{1}{\sin\alpha}\end{array}\right)\)

   Lorsque \(\alpha\in\{0,\pi\}\) le rang de \(A_\alpha\) est strictement inférieur à 3.

   Le mineur d'ordre 2 \(\left|\begin{array}{cc}\cos\alpha&-1\\1&\cos\alpha\end{array}\right|=1+\cos^2\alpha\) est toujours non nul donc le rang de \(A_\alpha\) est égal à 2.

2. On calcule le déterminant \(\det B_m=\left|\begin{array}{ccc}m&m&-1\\m&-1&m\\-1&m&m\end{array}\right|\) en cherchant à le factoriser.

   On ajoute les colonnes 2 et 3 à la colonne 1 afin de mettre en facteur \((2m-1)\)

   \(\det B_m=\left|\begin{array}{ccc}2m-1&m&-1\\2m-1&-1&m\\2m-1&m&m\end{array}\right|=(2m-1)\left|\begin{array}{ccc}1&m&-1\\1&-1&m\\1&m&m\end{array}\right|\) \(C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3\)

   On retranche ensuite la ligne 3 des lignes 1 et 2

   \(\det B_m=(2m-1)\left|\begin{array}{ccc}0&0&-1-m\\0&-1-m&0\\1&m&m\end{array}\right|\) \(L_1\leftarrow L_1-L_3\),\(L_2\leftarrow L_2-L_3\)

   D'où \(\det B_m=-(2m-1)(m+1)^2\)

   La matrice \(B_m\) est donc inversible si et seulement si \(m\in R\backslash\{-1,\frac12\}\) et dans ce cas son rang est égal à 3.

   L'inverse de \(B_m\) est donné par : \((B_m)^{-1}=\frac{1}{\det B_m}^t(\textrm{com} B_m)\)

   La comatrice de \(B_m\) est :

   \(\left(\begin{array}{ccc}-m^2-m&-m^2-m&m^2-1\\-m^2-m&m^2-1&-m^2-m\\m^2-1&-m^2-m&-m^2-m\end{array}\right)\)

   Cette matrice étant symétrique elle est égale à sa transposée.

   L'inverse de la matrice \(B_m\) est donc :

   \((B_m)^{-1}=\frac{-1}{(2m-1)(m+1)^2}\left(\begin{array}{ccc}-m^2-m&-m^2-m&m^2-1\\-m^2-m&m^2-1&-m^2-m\\m^2-1&-m^2-m&-m^2-m\end{array}\right)\)

   \((B_m)^{-1}=\frac{1}{(2m-1)(m+1)}\left(\begin{array}{ccc}m&m&1-m\\m&1-m&m\\1-m&m&m\end{array}\right)\)

   Dans le cas où \(m\in \{-1,\frac12\}\) le rang de la matrice \(B_m\) est strictement inférieur à 3

   • Si \(m=\frac12\) la matrice s'écrit :

     \(B_{\frac12}=\left(\begin{array}{ccc}\frac12&\frac12&-1\\\frac12&-1&\frac12\\-1&\frac12&\frac12\end{array}\right)\)

     On peut extraire de cette matrice un mineur d'ordre 2 non nul, par exemple :

     \(\left|\begin{array}{cc}\frac12&-1\\-1&\frac12\end{array}\right|=-\frac34\)

     La matrice \(B_{\frac12}\) est donc de rang 2.

   • Si \(m=-1\) la matrice s'écrit :

     \(B_{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1&-1&-1\\-1&-1&-1\\-1&-1&-1\end{array}\right)\)

     Tous les coefficients étant égaux, tous les mineurs d'ordre 2 sont nuls, le rang est donc strictement inférieur à 2 ; son rang n'est pas égal à 0 car la matrice est non nulle.

     Donc la matrice \(B_{-1}\) est de rang 1.

Remarque :

Pour justifier que le rang de \(B_{-1}\) est égal à 1 on pouvait également remarquer que les trois vecteurs colonnes sont égaux et non nuls.