Détermination du rang d'une matrice
Partie
Question
On considère la matrice \(M=\left(\begin{array}{cccc}5&2&4&-1\\3&-4&0&1\\a&b&2&-1\end{array}\right)\) où \(a\) et \(b\) sont des paramètres réels.
Quelles sont les valeurs maximales et minimales du rang de \(M\) ?
Peut-on déterminer \(a\) et \(b\) pour que le rang de \(M\) soit égal à 2 ?
Aide simple
L'observation du format de la matrice donne immédiatement une valeur maximale pour son rang ; un rapide calcul de mineurs indépendants des paramètres en donne une valeur minimale.
On peut interpréter la matrice \(M\) comme la matrice des coordonnées d'une famille de vecteurs de \(R^3\) et raisonner sur le rang de cette famille de vecteurs.
Aide méthodologique
Le rang d'une matrice est égal à l'ordre maximal d'un mineur non nul que l'on peut extraire de la matrice.
Le rang d'une matrice est égal au rang de ses vecteurs colonnes.
Solution détaillée
La matrice \(M\) est une matrice 3 lignes 4 colonnes, donc \(\textrm{rang}M\leq 3\).
On peut extraire de \(M\) un mineur d'ordre 2 non nul, par exemple : \(\left|\begin{array}{cc}4&-1\\0&1\end{array}\right|=4\).
Donc \(\textrm{rang}M\geq 2\).
La matrice \(M\) peut être interprétée comme la matrice des coordonnées dans la base canonique des 4 vecteurs de \(R^3\):
\(v_1=(5,3,a)\)
\(v_2=(2,-4,b)\)
\(v_3=(4,0,2)\)
\(v_4=(-1,1,-1)\)
Le rang de \(M\) est égal au rang de \(\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\) donc à la dimension du sous espace engendré par ces vecteurs.
Le mineur d'ordre 2 non nul de la question précédente montre que \(\{v_3,v_4\}\) est libre, donc le rang de \(\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\) est égal à 2 si et seulement si \(v_1\) et \(v_2\) appartiennent au sous-espace engendré par \(\{v_3,v_4\}\).
Par conséquent le rang de \(M\) est égal à 2 si et seulement si les déterminants \(\det\{v_1,v_3,v_4\}\) et \(\det\{v_2,v_3,v_4\}\) sont nuls.
\(\det\{v_1,v_3,v_4\}=\left|\begin{array}{ccc}5&4&-1\\3&0&1\\a&2&-1\end{array}\right|\)
En ajoutant la ligne 2 aux lignes 1 et 3, puis en développant suivant la colonne 3 on a :
\(\left|\begin{array}{ccc}8&4&0\\3&0&1\\a+3&2&0\end{array}\right|=4a-4\)
\(\det\{v_2,v_3,v_4\}=\left|\begin{array}{ccc}2&4&-1\\-4&0&1\\b&2&-1\end{array}\right|\)
En procédant de même on obtient :
\(\left|\begin{array}{ccc}-2&4&0\\-4&0&1\\b-4&2&0\end{array}\right|=4b-12\)
Le rang de \(M\) est donc égal à 2 si et seulement si les valeurs des paramètres \(a\) et \(b\) sont : \(a=1\) et \(b=3\).