Déterminant de la matrice des cofacteurs [Applications des déterminants]

Déterminant de la matrice des cofacteurs

Partie

Question

Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ ( $n\geq2$ ) à coefficients dans $K$ ( $R$ ou $C$ ).

On appelle $\textrm{com} A$ la matrice des cofacteurs de $A$ , appelée également comatrice de $A$ .

Démontrer que la matrice $A$ est de rang $n$ si et seulement si $\textrm{com} A$ est de rang $n$ et que $\det(\textrm{com}A)=(\det A)^{n-1}$ .

Aide méthodologique

La matrice $A$ et sa comatrice sont liées par la relation :

$(^t\textrm{com}A)A=A(^t\textrm{com}A)=(\det A)I_n$

Il est intéressant d'exploiter cette relation et d'en déduire une relation entre les déterminants de $A$ et de $\textrm{com} A$ .

Ne pas oublier que si on multiplie une matrice d'ordre $n$ par un scalaire $\lambda$ son déterminant est multiplié par $\lambda^n$ .

Le cofacteur $C_{i,j}$ associé à l'élément $a_{i,j}$ de la matrice $A$ est le déterminant d'ordre $n-1$ obtenu en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ (mineur associé à $a_{i,j}$ ) multiplié par $(-1)^{i+j}$ .

La comatrice de $A$ est obtenue en remplaçant chaque coefficient $a_{i,j}$ de $A$ par son cofacteur $C_{i,j}$ .

Solution détaillée

La matrice $A$ et sa comatrice $\textrm{com}A$ sont liées par la relation :

$(^t\textrm{com}A)A=A(^t\textrm{com}A)=(\det A)I_n$

D'où $\det\left[(^t\textrm{com}A)A\right]=\det\left[(\det A)I_n\right]$

En appliquant les propriétés des déterminants, on a :

$\det\left[(^t\textrm{com}A)A\right]=\det(^t\textrm{com}A)\det(A)=\det(\textrm{com}A)\det(A)$

$\det\left[(\det A)I_n\right]=(\det A)^n\det I_n=(\det A)^n$

On a donc la relation : $\det(\textrm{com}A)(\det A)=(\det A)^n$ (*)

Supposons la matrice $A$ de rang $n$ . Cette matrice étant carrée d'ordre $n$ , son déterminant est donc non nul.

D'après la relation (*), si le déterminant de la matrice $A$ est non nul, celui de sa comatrice est nécessairement différent de 0, on a donc prouvé l'implication :

$\textrm{rang}(A)=n\Rightarrow \textrm{rang}(\textrm{com}A)=n$

Il reste à établir la réciproque, c'est-à-dire :

$\textrm{rang}(\textrm{com}A)=n\Rightarrow \textrm{rang}(A)=n$

Supposons la matrice $\textrm{com}A$ de rang $n$ donc inversible et de déterminant non nul ; il en est de même pour sa transposée.

La relation $(^t\textrm{com}A)A=A(^t\textrm{com}A)=(\det A)I_n$

entraine que $A=(\det A)I_n(^t\textrm{com}A)^{-1}=(\det A)(^t\textrm{com}A)^{-1}$

De cette dernière égalité on déduit que le scalaire $\det A$ est nécessairement non nul : en effet si $\det A$ la matrice $A$ serait la matrice nulle et il en serait de même pour sa comatrice $\textrm{com}A$ ce qui est absurde car $\textrm{com}A$ est supposée inversible.

Le déterminant de la matrice $A$ est donc non nul et elle est de rang $n$ .

On a donc démontré que : $\textrm{rang}(\textrm{com}A)=n\Rightarrow \textrm{rang}(A)=n$

Lorsque $\det A$ est non nul on peut simplifier par $\det A$ dans la relation (*) et on obtient le déterminant de la comatrice de $A$ : $\det(\textrm{com}A)=(\det A)^{n-1}$

Lorsque $\det A$ est nul, on ne peut rien déduire de la relation (*) ; mais la démonstration précédente montre que si $\det A$ est nul, c'est-à-dire si $A$ n'est pas de rang $n$ , alors $\textrm{com}A$ n'est pas de rang $n$ et donc $\det(\textrm{com}A)$ est nul.

L'égalité $\det(\textrm{com}A)=(\det A)^{n-1}$ est encore vraie.

On a donc démontré l'équivalence : $\textrm{rang}(A)=n\Leftrightarrow \textrm{rang}(\textrm{com}A)=n$ ,

et l'égalité : $\det(\textrm{com}A)=(\det A)^{n-1}$ .