Déterminant de la matrice des cofacteurs
Partie
Question
Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre \(n\) (\(n\geq2\)) à coefficients dans \(K\) (\(R\) ou \(C\)).
On appelle \(\textrm{com} A\)la matrice des cofacteurs de \(A\), appelée également comatrice de \(A\).
Démontrer que la matrice \(A\) est de rang \(n\) si et seulement si \(\textrm{com} A\) est de rang \(n\) et que \(\det(\textrm{com}A)=(\det A)^{n-1}\).
Aide méthodologique
La matrice \(A\) et sa comatrice sont liées par la relation :
\((^t\textrm{com}A)A=A(^t\textrm{com}A)=(\det A)I_n\)
Il est intéressant d'exploiter cette relation et d'en déduire une relation entre les déterminants de \(A\) et de \(\textrm{com} A\).
Ne pas oublier que si on multiplie une matrice d'ordre \(n\) par un scalaire \(\lambda\) son déterminant est multiplié par \(\lambda^n\).
Aide à la lecture
Le cofacteur \(C_{i,j}\) associé à l'élément \(a_{i,j}\) de la matrice \(A\) est le déterminant d'ordre \(n-1\) obtenu en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(j\) (mineur associé à \(a_{i,j}\)) multiplié par \((-1)^{i+j}\).
La comatrice de \(A\) est obtenue en remplaçant chaque coefficient \(a_{i,j}\) de \(A\) par son cofacteur \(C_{i,j}\).
Solution détaillée
La matrice \(A\) et sa comatrice \(\textrm{com}A\) sont liées par la relation :
\((^t\textrm{com}A)A=A(^t\textrm{com}A)=(\det A)I_n\)
D'où \(\det\left[(^t\textrm{com}A)A\right]=\det\left[(\det A)I_n\right]\)
En appliquant les propriétés des déterminants, on a :
\(\det\left[(^t\textrm{com}A)A\right]=\det(^t\textrm{com}A)\det(A)=\det(\textrm{com}A)\det(A)\)
\(\det\left[(\det A)I_n\right]=(\det A)^n\det I_n=(\det A)^n\)
On a donc la relation : \(\det(\textrm{com}A)(\det A)=(\det A)^n\) (*)
Supposons la matrice \(A\) de rang \(n\). Cette matrice étant carrée d'ordre \(n\), son déterminant est donc non nul.
D'après la relation (*), si le déterminant de la matrice \(A\) est non nul, celui de sa comatrice est nécessairement différent de 0, on a donc prouvé l'implication :
\(\textrm{rang}(A)=n\Rightarrow \textrm{rang}(\textrm{com}A)=n\)
Il reste à établir la réciproque, c'est-à-dire :
\(\textrm{rang}(\textrm{com}A)=n\Rightarrow \textrm{rang}(A)=n\)
Supposons la matrice \(\textrm{com}A\) de rang \(n\) donc inversible et de déterminant non nul ; il en est de même pour sa transposée.
La relation \((^t\textrm{com}A)A=A(^t\textrm{com}A)=(\det A)I_n\)
entraine que \(A=(\det A)I_n(^t\textrm{com}A)^{-1}=(\det A)(^t\textrm{com}A)^{-1}\)
De cette dernière égalité on déduit que le scalaire \(\det A\) est nécessairement non nul : en effet si \(\det A\) la matrice \(A\) serait la matrice nulle et il en serait de même pour sa comatrice \(\textrm{com}A\) ce qui est absurde car \(\textrm{com}A\) est supposée inversible.
Le déterminant de la matrice \(A\) est donc non nul et elle est de rang \(n\).
On a donc démontré que : \(\textrm{rang}(\textrm{com}A)=n\Rightarrow \textrm{rang}(A)=n\)
Lorsque \(\det A\) est non nul on peut simplifier par \(\det A\) dans la relation (*) et on obtient le déterminant de la comatrice de \(A\) : \(\det(\textrm{com}A)=(\det A)^{n-1}\)
Lorsque \(\det A\) est nul, on ne peut rien déduire de la relation (*) ; mais la démonstration précédente montre que si \(\det A\) est nul, c'est-à-dire si \(A\) n'est pas de rang \(n\), alors \(\textrm{com}A\) n'est pas de rang \(n\) et donc \(\det(\textrm{com}A)\) est nul.
L'égalité \(\det(\textrm{com}A)=(\det A)^{n-1}\) est encore vraie.
On a donc démontré l'équivalence : \(\textrm{rang}(A)=n\Leftrightarrow \textrm{rang}(\textrm{com}A)=n\),
et l'égalité : \(\det(\textrm{com}A)=(\det A)^{n-1}\).