Exercice 5
Partie
Question
Calculer le développement limité de \(f(x)= \textrm{sh} (x+1)\) à l'ordre \(3\) en \(0\).
Solution simple
\(f(x) = \textrm{sh}_{1} + \left( \textrm{ch}_{1} \right)~x + \frac{\textrm{sh}_{1}}{2}~x^{2} + \frac{\textrm{ch}_{1}}{6}~ x^{3} + x^{3}~\epsilon(x)\)
Solution détaillée
On ne peut pas utiliser directement le développement de \(\textrm{sh}~u\) en posant \(u = (1 + x)\) car il ne tend pas vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(0\).
Il faut utiliser les propriétés de la fonction \(\textrm{sh}\) en développant grâce à la formule \(\textrm{sh}~(a + b) = ...\)
En appliquant cette formule à \(\textrm{sh}~(1 + x)\) : \(\textrm{sh}~(1 + x) = \textrm{ch}1~\textrm{sh}~x + \textrm{sh}1~\textrm{ch}~x\).
Le développement limité de \(\textrm{sh}~x\) à l'ordre \(3\) au voisinage de \(0\) est : \(\textrm{sh}~x = x + (1/6)~x^{3} + x^{3}~\epsilon(x)\).
Celui de \(\textrm{ch}~x\) est : \(\textrm{ch}~x = 1 + (1/2)~x^{2} + x^{3} \epsilon(x)\).
On reconsitute \(\textrm{ch}1~\textrm{sh} x + \textrm{sh} 1~\textrm{ch} x\) :
\(f(x) = \textrm{sh}_{1} + \left( \textrm{ch}_{1} \right)~x + \frac{\textrm{sh}_{1}}{2}~x^{2} + \frac{\textrm{ch}_{1}}{6}~ x^{3} + x^{3}~\epsilon(x)\)