Existence et unicité des solutions
On s'intéresse ici à une équation différentielle du premier ordre résolue en \(y'\) , donc de la forme
\(\displaystyle{y' = f(x, y)}\) (1)
Une solution de (1) est une fonction dérivable \(\displaystyle{y = u(x)}\), définie sur un intervalle \(I\) et vérifiant, pour tout \(x\) de \(I\),
\(\displaystyle{u'(x) = f(x, u(x))}\).
Exemple :
Par exemple, la fonction \(\displaystyle{u(x) = - x - 1}\) définie sur \(\mathbb R\) tout entier est solution de l'équation \(\displaystyle{y' = x + y}\) , car en tout \(x\) réel, on a
\(\displaystyle{u'(x) = - 1 = x + (- x - 1) = x + u(x)}\) .
Mais, si \(C\) est une constante réelle, la fonction \(\displaystyle{v(x) = C\textrm{e}^ x - x - 1}\) est aussi une solution de (1), puisque
\(\displaystyle{v'(x) = Ce^x - 1 = x + (C\textrm{e}^x - x - 1) = x + v(x)}\) .
Explication :
L'équation (1) admet donc une infinité de solutions. C'est un phénomène général : une équation différentielle admet presque toujours une infinité de solutions.
Ce phénomène permet de choisir une solution ayant une valeur donnée en un point fixé (dans l'exemple ci-dessus il suffit de donner à la constante \(C\) la valeur adéquate).
Nous admettrons le résultat essentiel suivant :
Théorème : Théorème (de Cauchy - Lipschitz)
Si la fonction \(f(x, y)\) admet des dérivées partielles (par rapport à \(x\) et \(y\)) qui sont continues, et si l'on se fixe des réels \(x_0\) et \(y_0\), il existe une solution \(U(x)\) et une seule de l'équation \(y' = f(x, y) \), définie sur un intervalle \(I\) contenant \(x_0\), qui vérifie \(u\) \((x_0) = y_0\) .
Exemple :
Par exemple, la solution de \(\displaystyle{y' = x + y}\) vérifiant \(u(1) = 2\) est \(\displaystyle{(4/ \textrm{e}) \textrm{e}^x - x - 1}\) (et c'est la seule).
Complément :
Les dérivées partielles de \(\displaystyle{f(x, y) = x + y}\) sont \(\displaystyle{\delta f/\delta x=1}\) et \(\displaystyle{\delta f/\delta y=1}\) qui sont évidemment continues. Le théorème s'applique bien, donc il y a une seule solution qui vérifie la condition imposée
\(u(1) = 2\) . Pour l'expliciter, on la cherche sous la forme \(\displaystyle{y = C\textrm{e}^x - x - 1}\)
On voit que l'unique valeur de \(C\) qui convient est \(\displaystyle{C = 4/\textrm{e}}\) .
Il résulte de ce qui précède que les graphes de deux solutions d'une même équation différentielle ne peuvent pas se croiser.
Complément :
Si les graphes de deux solutions \(\displaystyle{y = u_1(x)}\) et \(y = u_2(x)\) se croisaient en un point d'abscisse \(x_0\) , cela signifierait que \(\displaystyle{u_1(x_0) = u_2(x_0)}\).
En vertu du théorème d'unicité, cela impliquerait que les les fonctions \(u_1\) et \(u_2\) seraient les mêmes, et bien sûr leurs graphes seraient confondus
L'animation suivante vous permet de découvrir le graphe de quelques solutions de l'équation :
\(y' = x + y\).
Vous pouvez constater que ces graphes ne se croisent pas. Si vous cliquez sur un point \((x_0, y_0)\) de la figure, vous verrez apparaître le graphe de la solution unique \(u(x)\) qui vérifie \(u(x_0) = y_0\).
Pour certaines fonctions \(f(x, y)\), nous étudierons des techniques permettant de trouver l'expression des solutions, c'est à dire une formule définissant les fonctions \(u(x)\).
Mais, pour de nombreuses équations \(y' = f(x, y)\), il est impossible de trouver de telles formules. Cela ne signifie pas que les solutions n'existent pas (souvent même, on pourra tracer leurs graphes), mais qu'on ne peut pas les exprimer par des formules.
Avant même d'essayer d'expliciter les solutions d'une équation différentielle, on peut connaître certaines propriétés de ses solutions, qui se déduisent de l'équation elle-même. C'est ce que nous apprendrons à faire dans la suite de ce chapitre.