Régionnement du plan
Si \(u(x)\) est solution de \(y' = f(x, y)\) , tant que le graphe de \(u\) reste dans une région du plan où \(f(x, y)\) est positif (resp. négatif), la fonction \(u\) est croissante (resp. décroissante). Si donc on détermine les régions du plan dans lesquelles \(f(x, y)\) est positive et celles dans lesquelles \(f(x,y)\) est négative, cela nous donne des renseignements sur les solutions : leurs graphes traversent les premières en "montant" et les secondes en "descendant". Si un tel graphe passe par un point où \(f(x, y) = 0\), il a en ce point une tangente horizontale.
La figure ci-dessous concerne l'équation \(y' = \sin (3xy)\).
Les zones du plan où \(\sin(3xy)\) est positif sont grises, celles où \(\sin(3xy)\) est négatif sont noires, si vous cliquez sur un point de la figure, cela déclenche le tracé de la solution (unique) passant par ce point.
Vous pouvez vérifier que cette solution est croissante dans les zones grises, et décroissante dans les zones noires.
Complément :
Les zones (grises) où \(\sin(3xy)\) est positif sont celles où \(\displaystyle{2k\pi \le 3xy \le (2k + 1) \pi}\)
pour un certain entier \(k\). Les zones (noires) où \(\sin (3xy)\) est négatif sont celles où\(\)
Ces zones sont délimitées par les axes et les hyperboles
\(y = n\pi/3x\) (avec \(n\) entier).
Complément :
Certaines solutions, nettement distinctes au voisinage de \(x = 0\), semblent se confondre si \(x\) est proche de \(\pm 4\).
Ce n'est qu'un effet d'échelle du tracé : ces courbes se rapprochent effectivement, mais ne coïncident jamais.