Exercice n°1

Partie

Les équations ci-dessous sont-elles à variables séparables ?

Question

 \(\displaystyle{yy'=x+1}\)

Solution détaillée

1. L'équation \(yy'=x+1\) peut se mettre sous la forme \(y'=f(x)g(y)\) avec \(f(x)=x+1\) et \(g(y)=1/y\).

Question

 \(y'=x^2+y^2\)

Solution détaillée

L'équation \(y'=x^2+y^2\) ne peut pas se mettre sous la forme \(y'=f(x)g(y)\).

Question

 \((x^2-1)y'+2xy^2=0\)

Solution détaillée

L'équation \((x^2-1)y'+2xy^2=0\) se met sous la forme \(y'=f(x)g(y)\) avec \(f(x)=-2x/(x^2-1)\) et \(g(x)=y^2\).

Question

 \(y'=(x+y)^2-(x-y)^2\).

Développer puis simplifier le second membre de l'équation.

Solution détaillée

 L'équation \(y'=(x+)^2-(x-y)^2\) peut se mettre sous la forme \(y'=f(x)g(y)\) avec \(f(x)=4x\) et \(g(y)=y\), en vertu de l'identité \((x+y)^2-(x-y)^2=4xy\).