Exercice n°4
Partie
Question
Trouver les courbes d'équation \(y=f(y)\)(\(f\) dérivable) telles que l'abscisse du point d'intersection de toute tangente avec l'axe \(Ox\) soit la moitié de l'abscisse du point de contact.
La tangente au graphe de la courbe \(y=f(x)\) au point d'abscisse \(x_0\) a pour équation
\(Y-f(x_0)=f'(x_0)(X-x_0)\).
Si on écrit qu'elle coupe l'axe des \(X\) au point d'abscisse \(x_0/2\), on obtient une équation différentielle vérifiée par \(f\).
Solution détaillée
La tangente au graphe d'une fonction dérivable \(y=f(x)\) au point d'abscisse \(x_0\) a pour équation
\(Y-f(x_0)=f'(x_0)(X-x_0)\).
Si \(f'(x_0)\neq0\), elle coupe l'axe des \(x\) au point d'abscisse \(X=x_0-f(x_0)/f'(x_0)\).
La condition requise se traduit donc par
\(x_0-f(x_0)/f'(x_0)=x_0/2\).
La fonction \(f\) est donc solution de l'équation
\(y/y'=x/2\), soit \(y'=2y/x\).
Les solutions sont les fonctions \(y=Kx^2\), sur chacune des demi-droites \(x<0\) et \(x>0\).
Remarques
1. Au point \(x=0\), on doit avoir \(f(x)=0\), et la condition n'a alors pas grand sens.
2. Les fonctions définies par \(f(x)=C_1x^2\) si \(x\leq0\) et \(f(x)=C_2x^2\) si \(x>0\) sont solutions du problème.