Exercice n°3
Partie
Question
Résoudre l'équation différentielle :
\((2-\sin y)y'=\textrm{e}^x+1\)
sous forme implicite \(G(y)=F(x)+C\).
Sans chercher à écrire les solutions sous la forme \(y=u(x)\), montrer qu'elles sont croissantes et tendent vers \(\pm\infty\) quand \(x\) tend vers \(\pm\infty\).
\(g(y)=2y+\cos y\)
admet une fonction réciproque \(h\) définie sur \(R\), puis que la fonction
\(U(x)=h(x+\textrm e^x+C)\)
est solution de l'équation différentielle.
Solution détaillée
Equation \((2-\sin y)y'=\textrm e^x+1\).
L'équation s'écrit \(y'=f(x)g(y)\) avec \(f(x)=\textrm e^x+1\) et \(g(y)=1/(2-\sin y)\).
\(g(y)\) ne s'annule jamais, donc il n'y a pas de solution constante.
Comme \(f(x)\) et \(g(y)\) sont toujours positifs, \(y'\) est toujours positif ; les solutions sont donc croissantes.
Une primitive de \(f(x)\) est \(\textrm{e}^x+x\) et une primitive de \(1/g(y)\) est \(2y+\cos y\).
Les solutions vérifient donc
\(2y+\cos y=\textrm{e}^x+C\)
Fixons une valeur quelconque de \(C\) :
On peut vérifier que la fonction \(G(y)=2y+\cos y\) est une bijection strictement croissante de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\) .
Donc pour chaque \(x\) réel, l'équation
\(G(y)=\textrm{e}^x+x+C\)
détermine une valeur unique de \(y\). Cette équation implicite définit donc une solution définie sur \(\mathbb R\) tout entier.
Soit \(y(x)\) une telle solution.
La fonction \(F(x)=\textrm{e}^x+x+C\) tend vers l'infini avec le signe de \(x\) quand \(x\) tend vers \(\pm\infty\).
On a toujours \(\cos y(x)\leq1\), donc \(2y(x)\ge q\textrm{e}^x+x+C-1\), donc quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(y(x)\) tend vers \(+\infty\).
On a toujours \(\cos y(x)\ge q-1\), donc \(2y(x)\leq\textrm{e}^x+x+C+1\) ; donc quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(y(x)\) tend vers \(-\infty\).