Résolution explicite

1. L'équation \(y'-xy^2=2xy\) peut se mettre sous la forme \(y'=f(x)g(y)\) avec \(f(x)=x\) et \(g(y)=2y+y^2\).

\(g(y)\) s'annule pour \(y=0\) et \(y=-2\) ; les solutions constantes sont donc \(y=0\) et \(y=-2\).

Les autres solutions vérifient \(F(x)=G(y)+C\), avec :

\(F(x)\) une primitive de \(x\) : prenons \(F(x)=x^2/2\) ;

\(G(y)\) une primitive de \(1/(2y+y^2)\) : on peut prendre

\(G(y)=1/{2\textrm{ln}}|y/{y+2}|\).

Ces solutions vérifient donc

\(\textrm{ln}|y/{y+2}|=x^2+C\) soit \(y/{y+2}=L\textrm{exp}(x^2)\) avec \(L\) non nul.

Cela se résout finalement en

\(y=2/(K\textrm{exp}(-x^2)-1)\).

où l'on a posé \(K=1/L\).

Comme on a toujours \(0<\textrm{exp}(-x^2)<1\), le dénominateur ne s'annule jamais si \(K< 1\) ; la solution est alors définie sur \(\mathbb R\) tout entier.

Si \(K=1\), le dénominateur s'annule pour \(x=0\) : la formule correspond à deux solutions, l'une définie pour les \(x>0\), l'autre pour les \(x<0\).

Si \(K>1\), le dénominateur s'annule en deux valeurs opposées \(\pm a\), avec \(a=(\textrm{ln}(K))^{1/2}\). La formule correspond à trois solutions, la première définie pour \(x<-a\), la seconde pour \(-a< x< a\), la troisième pour \(x> a\).

2. L'équation \(y'=\textrm{exp}(x+y)\) s'écrit

\(y'=\textrm{exp}(x)\textrm{exp}(y)\).

Comme \(\textrm{exp}(y)\) ne s'annule jamais, il n'y a pas de solution constante.

Les solutions vérifient \(G(y)=F(x)+C\), avec \(G(y)=-\textrm{exp}(-y)\) et \(F(x)=\textrm{exp}(x)\)

Les solutions ont donc pour équation \(y=-\textrm{ln}(K-\textrm{e}^x)\)

Puisque \(\textrm{e}^x\) est positif, pour que la fonction soit définie il faut que la constante \(K\) soit positive.

L solution est définie pour \(x<\textrm{ln}(K)\).

3. L'équation \(yy'+x=1\) s'écrit

\(y'=f(x)g(y)\)

avec \(f(x)=1-x\) et \(g(y)=1/y\).

Il n'y a pas de solution constante.

Une primitive de \(1-x\) est \(x-x^2/2\) et une primitive de \(y\) est \(y^2/2\).

Les solutions vérifient donc

\(x^2+y^2-2x+C=0\), soit \(y^2+(x-1)^2=1-C\).

Les valeurs de \(C\) supérieures ou égales à \(1\) ne fournissent aucune solution.

Si \(C<1\), on obtient deux solutions opposées, définies pour \(1-(1-C)^{1/2}< x<1+(1-C)^{1/2}\), donc les graphes sont des demi-cercles :

\(y=\pm[1-C-(x-1)^2]^{1/2}\)