Exercice n°1
Partie
Question
Trouver la solution générale de l'équation différentielle du second ordre
\(y"-4y+8y=0\).
Montrer que toutes les solutions tendent vers \(0\) si \(x\) tend vers \(-\infty\).
Expliquer la solution \(u(x)\) vérifiant \(u(0)=0\) et \(u'(0)=1\).
Solution détaillée
L'équation différentielle \(y"-4y'+8y=0\) est une équation du second ordre linéaire à coefficients constants sans second membre.
Le trinôme associé \(r^2-4r+8\) a pour racines \(r_1=2+2i\) et \(r_2=2-2i\).
Ces racines étant complexes, la solution générale de l'équation est
\(y=\textrm{e}^{2x}(A\cos(2x)+B\sin(2x))\).
Si \(x\) tend vers \(-\infty\), \(\textrm{e}^{2x}\) tend vers \(0\) et \(A\cos(2x)+B\sin(2x)\) est borné, donc \(u(x)\) tend vers \(0\).
Si \(u\) est une solution, \(u(0)=A\). Puisque \(u(o)=0\) , on a \(A=0\).
On a donc \(u(x)=B\textrm{e}^{2x}\sin(2x)\), et \(u'(x)=2B\textrm{e}^{2x}(\sin(2x)+\cos(2x))\).
En particulier, \(u'(0)=2B\). Puisque \(u'(0)=1\), on a \(B=1/2\).
La solution cherchée est
\(u(x)=1/2\textrm{e}^{2x}\sin(2x)\).
Question
On considère maintenant l'équation
\(y"-4y'+8y=x\).
Trouver sa solution générale.
Chercher une solution particulière de la forme
\(y=ax+b\).
Montrer que toutes les solution ont que une asymptote commune quand \(x\) tend vers \(-\infty\).
Expliquer (presque sans calculs) la solution vérifiant \(y(0)=4\) et \(y'(0)=1\).
Solution détaillée
L'équation différentielle \(y"-4y'+8y=x\) est une équation du second ordre linéaire à coefficients constants avec second membre.
On vient de résoudre l'équation homogène associée.
Le second membre étant un polynôme du premier degré, cherchons une solution particulière sous la forme
\(v(x)=ax+b\).
En substituant dans l'équation, on trouve \(a=1\) et \(b=4\).
La solution générale de l'équation est donc
\(y=\textrm{e}^{2x}(A\cos(2x)+B\sin(2x)+x+4)\).
Si \(x\) tend vers \(-\infty\), toutes ces fonctions sont asymptotes à la droite \(y=x+4\).
On sait qu'il existe une solution et une seule vérifiant \(y(0)=4\) et \(y'(0)=1\).
Il s'agit donc de la solution
\(v(x)=x+4\).