Résolution explicite

L'équation différentielle \(y"+3y'+2y=\textrm{e}^{-x}\) est une équation du second ordre linéaire à coefficients constants avec second membre.

L'équation homogène associée est \(y"+3y'+2y=0\).

Le trinôme associé \(r^2+3r+2\) a pour racines \(r_1=-1\) et \(r=-2\).

Ces racines étant réelles et distinctes, la solution générale de l'équation homogène est

\(y=A\textrm{e}^{-2x}+B\textrm{e}^{-x}\).

Puisque \(-1\) est racine du trinôme \(r^2+3r+2\), on doit chercher une solution particulière sous la forme

\(u(x)=(ax+b)\textrm{e}^{-x}\).

On a alors \(u'(x)=(-ax+ab)\textrm{e}^{-x}\) et \(u"(x)=(ax-2a+b)\textrm{e}^{-x}\).

En écrivant que \(u"+3u'+2u=\textrm{e}^{-x}\), on trouve \(a=1\), \(b\) quelconque.

Une solution particulière est donc \(x\textrm{e}^{-x}\), et la solution générale est

\(y=A\textrm{e}^{-2x}+B\textrm{e}^{-x}+x\textrm{e}^{-x}\).

Remarque : Le fait que \(b\) soit indéterminé n'est pas fortuit : cela provient du fait que toutes les fonctions \(b\textrm{e}^{-x}\) sont solution de l'équation homogène ; on aurait donc pu choisir \(b=0\), autrement dit chercher directement une solution particulière sous la forme \(u(x)=ax\textrm{e}^{-x}\).

L'équation différentielle \(y"+2y'+y=\textrm{e}^{-x}\) est une équation du second ordre linéaire à coefficients constantes avec second membre.

L'équation homogène associée est \(y"+2y'+y=0\).

Le trinôme associé \(r^2+2r+1\) a pour racine double \(r=-1\).

La solution générale de l'équation homogène est donc

\(y=(Ax+B)\textrm{e}^{-x}\).

Puisque \(-1\) est racine double du trinôme associé, et en adaptant la remarque ci-dessus, on peut chercher une solution particulière sous la forme

\(u(x)=ax^2\textrm{e}^{-x}\).

On a alors \(u'(x)=a(-x^2+2x)\textrm{e}^{-x}\), et \(u"(x)=(x^2-4x+2)\textrm{e}^{-x}\).

En substituant dans \(u"+2u'+u=\textrm{e}^{-x}\), on trouve\(a=1/2\).

\(x^/2\textrm{e}^{-x}\) est donc une solution particulière, et la solution générale est

\(y=(Ax+B+x^2/2)\textrm{e}^{-x}\).