Exercice n°3
Partie
Question
Considérons une bille de masse \(m\) suspendue à un ressort de raideur \(k\) et de coefficient d'amortissement \(a\).
Si \(x(t)\) désigne le déplacement vertical de la bille vers le bas à l'instant \(t\) par rapport à la position d'équilibre, la fonction \(x(t)\) vérifie l'équation \(mx"+ax'+kx=0\).
Les valeurs positives \(k\) et \(a\) étant fixées, résoudre cette équation en discutant en selon la valeurs de \(m\).
Les valeurs \(a\) et \(k\) étant fixées, les racines de l'équation caractéristique
\(mr^2+ar+k=0\)
sont réelles, ou complexes conjuguées, selon les valeurs de \(m\).
Montrer que, pour certaines valeurs de \(m\), la bille oscille de part et d'autre de sa position d'équilibre, alors que pour d'autres, elle tend vers cette dernière de façon monotone.
Solution détaillée
L'équation différentielle \(mx"+ax'+kx=0\) est une équation du second ordre linéaire à coefficients constants homogène (ou sans second membre).
Le trinôme associé est \(mr^2+ar+k\). Son discriminant est \(\triangle=a^2-4mk\).
Si \(m< a^2/4k\), le trinôme admet deux racines réelles négatives \(u\) et \(v\).
La solution générale est alors
\(x(t)=A\textrm{e}^{ut}+B\textrm{e}^{vt}\).
Si \(m> a^2/4k\), le trinôme admet deux racines complexes conjuguées \(u\pm iv\), avec \(u\) négatif.
La solution générale est alors
\(x(t)=\textrm{e}^{ut}(A\cos(vt)+B\sin(vt))\).
Si \(m=a^2/4k\), le trinôme admet une racine double négative \(u=-2k/a\).
La solution générale est alors
\(x(t)=(At+B)\textrm{e}^{ut}\).
Sur les dessins de gauche ci-dessous, cliquez sur la bille verte, déplacez-la verticalement en tenant le bouton enfoncé et lachez ; vous verrez \(t\) le mouvement de la bille. Les dessins de droite montrent l'allure de quelques solutions (déplacement vertical en fonction du temps).
Cas \(m< a^2/4k\) :
Cas \(m> a^2/4k\) :
Supposons qu'on écarte la bille de sa position d'équilibre et qu'on la lache ; si \(m\) est petit elle tend vers l'équilibre sans le dépasser, alors que si \(m\) est grand elle effectue des oscillations amorties autour de l'équilibre.