Exercice n°4
Partie
Question
Oscillations forcées
Un ressort de raideur \(k\) et de coefficient d'amortissement négligeable est suspendu à une tige horizontale animée d'un mouvement vertical périodique. Une bille de masse \(m\) est suspendue au bas du ressort. On supposera que, si \(x(t)\) désigne le déplacement vertical de la bille vers le bas à l'instant \(t\) par rapport à la position d'équilibre, la fonction \(x(t)\) vérifie l'équation
\(mx"+kx=d\cos(\beta t)\).
En posant \(\omega^2=k/m\) et \(h=d/m\), l'équation s'écrit
\(x"+\omega^2x=h\cos(\beta t)\).
Trouver la solution générale (on discutera selon les valeurs de \(\beta\)).
On remarquera que, pour certaines valeurs de \(\beta\), les solutions sont non bornées :
c'est ce que l'on appelle le phénomène de résonnance.
Si \(\beta\neq\pm\omega\), on cherche une solution particulière sous la forme
\(y=c\cos(\beta t)+d\sin(\beta t)\).
Si \(\beta=\pm\omega\), on la cherche sous la forme
\(y=t(c\cos(\beta t)+d\sin(\beta t))\).
Solution détaillée
L'équation différentielle \(x"+w^2x=h\cos(\beta t)\) est une équation du second ordre linéaire à coefficients constants avec second membre.
Le trinôme associé à l'équation homogène est \(r^2+w^2\) qui admet les deux racines imaginaires \(\pm i\omega\).
La solution générale de l'équation de l'équation homogène est
\(x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\).
Recherchons une solution particulière de l'équation complète.
Si \(\beta\neq\pm\omega\), on la cherche sous la forme
\(c\cos(\beta t)+d\sin(\beta t)\).
En remplaçant dans l'équation, on trouve \(c=h\omega^2/(\omega^2-\beta^2)\) et \(d=0\).
La solution générale est donc
\(x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)+h\omega^2/(\omega^2-\beta^2)\cos(\beta t)\).
Toutes ces solutions sont bornées, mais en générale ne sont pas périodiques. Les dessins ci-dessous en montrent quelques unes, qui vérifient toutes \(x'(0)=0\).
cas \(\beta\neq\pm\omega\) :
Si \(\beta=\pm\omega\), on cherche une solution de la forme
\(x(t)=t(c\cos(\omega t)+d\sin(\omega t))\).
On trouve \(c=0\) et \(d=h\omega/2\).
La solution générale est alors
\(x(t)=A\cos(\omega t)+(B+h\omega t/2)\sin(\omega t)\).
La présence d'un terme en \(t\sin(\omega t)\) fait que les oscillations ont une amplitude de plus en plus grande (et en théorie non bornée) : c'est le phénomène de résonnance.
Commentaire : \(\omega\) est appelé la fréquence propre du système ; c'est la fréquence "naturelle" d'oscillation du ressort, en l'absence de mouvement de la tige auquel il est accroché. Le phénomène de résonnance se produit si la tige est animée d'un mouvement dont la fréquence coïncide avec la fréquence propre.
Les dessins ci-dessous donnent l'allure de quelques solutions.
cas \(\beta=\omega\)