Exercice n°1
Partie
Question
Soit l'équation \(\displaystyle{y'=2\cos(y-x)}\).
Montrer que la zone du plan définie par la condition \(\displaystyle{x< y< x+\pi/2}\) est une zone-piège.
En déduire que toute solution \(u\) telle que \(\displaystyle{0< u(0)<\pi/2}\) est définie jusqu' à \(+\infty\) et que \(u(x)/x\) tend vers \(1\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
Calculer les valeurs de \(y'\) sur les droites \(y=x\) et \(\displaystyle{y=x+\pi/2}\), et en déduire que ces droites sont des barrières.
Remarquer ensuite que, si une solution reste dans la zone piège, elle ne peut pas avoir d'asymptote verticale.
Solution détaillée
La fonction \(y=x\) a une dérivée constante égale à \(1\).
Sur la droite \(y=x\), le champ de l'équation \(\displaystyle{y'=2\cos(y-x)}\) a une pente constante égale à \(2\).
La droite \(y=x\) est donc une barrière inférieure pour cette équation.
De même, la fonction \(\displaystyle{y=x+\pi/2}\) a une dérivée constante égale à \(1\), et le champ sur la droite \(\displaystyle{y=x+\pi/2}\) est horizontal.
La droite \(\displaystyle{y=x+\pi/2}\) est donc une barrière supérieure pour cette équation.
Comme on a toujours \(\displaystyle{x< x+\pi/2}\), la zone comprise entre ces deux droites est une zone piège pour l'équation différentielle.
Si une solution \(u\) vérifie \(\displaystyle{0< u(0)<\pi/2}\), le graphe de \(u\) reste, pour les \(x>0\), entre ces deux droites, et ne peut avoir d'asymptote verticale. En vertu du théorème de prolongement, la solution \(u\) est donc définie jusqu'en \(+\infty\), et on a, pour tout \(x>0\),
\(\displaystyle{x< u(x)< x+\pi/2}\),
donc \(\displaystyle{1< u(x)/x<1+\pi/(2x)}\).
Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(1+\pi/(2x)\) tend vers \(1\), donc \(u(x)/x\) tend vers \(1\) aussi.