Exercice n°2
Partie
On considère l'équation différentielle \(y'=y^2-x\).
Question
Soit \(a>0\) ; montrer que la fonction \(\displaystyle{S_a(x)=-1/(x+a)}\) est une barrière inférieure pour cette équation sur l'intervalle \(]-\infty,-a[\).
Solution détaillée
Barrière pour l'équation \(\displaystyle{y'=y^2-x}\)
La dérivée de la fonction \(S_a(x)\) est \(\displaystyle{1/(x+a)^2}\).
Le champ de l'équation \(\displaystyle{y'=y^2-x}\) au point \((x,S_a(x))\) a pour pente \(\displaystyle{1/(x+a)^2-x}\).
Comme \(a>0\), si \(x<-a\), \(x\) est négatif, donc
\(\displaystyle{1/(x+a)^2-x>1/(x+a)^2}\).
En tout point du graphe de \(S_a(x)\) pour \(x<-a\), la pente champ est supérieure à celle du graphe.
Le graphe de \(S_a(x)\) est donc une barrière inférieure sur \(]-\infty,-a[\) pour l'équation \(\displaystyle{y'=y^2-x}\).
Question
Soient \(x_0<0\) et \(\displaystyle{y_0>-2/x_0}\). Soit \(u\) la solution vérifiant \(u(x_0)=y_0\). En posant \(a=-x_0/2\), montrer que le point \((x_0,y_0)\) est au-dessus de la courbe \(S_a(x)\) ; en déduire que, pour un certain \(b<0\), \(u(x)\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(b^-\).
Voir complément : \(S_a(x)\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(-a^-\).
Toute solution dont le graphe a un point au dessus de \(S_a\) possède donc une asymptote verticale d'abscisse \(b\leq-a\).
Solution détaillée
Barrière pour l'équation \(y'=y^2-x\)
La solution \(u\) vérifie \(\displaystyle{u(x_0)=y_0>-2/x_0}\).
Posons \(a=-x_0/2\) ; on a \(a>0\), puisque \(x_0<0\) ; d'autre part, \(\displaystyle{S_a(x_0)=-2/x_0}\), donc \(\displaystyle{u(x_0)> S_a(x_0)}\).
Le graphe de \(u\) passe par le point \((x_0,y_0)\) situé au dessus de la branche de l'hyperbole constituée des points \((x,S_a(x))\) avec \(x<-a\). Comme on a vu que cette branche est une barrière inférieure pour \(y'=y^2-x\), le graphe de \(u\) reste au dessus de cette branche en tout point \(x\) vérifiant \(\displaystyle{x_0< x<-a=x_0/2}\).
Or \(S_a(x)\) tend vers \(+\infty\) si \(x\) tend vers \(-a\). On en conclut que \(u\) tend aussi vers \(+\infty\) pour une valeur \(b\leq-a\).
Le domaine de définition de \(u\) étant un intervalle, la fonction n'est pas définie pour \(x> b\).
Remarque : On peut montrer que le domaine de définition de \(u\) est de la forme \(]c,b[\) et que \(u(x)\) tend vers \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(c^+\).
Sur la figure ci-dessous, vous voyez le point \((x_0,y_0)\) en rouge, la barrière inférieure en jaune et le graphe de \(u\) en vert.