Axiomes
Axiomes relatifs à la loi interne
Associativité, c'est à dire que pour tous éléments et w de E
(u + v) + w = u + (v + w)
Il existe un élément neutre, c'est à dire qu'il existe un élément de E, noté 0, vérifiant pour tout élément v de E
v + 0 = 0 + v = v
Tout élément v de E admet un symétrique, c'est à dire qu'il existe un élément v^, de E tel que
v + v^, = v^, + v = 0
Cet élément v^, est noté -v
Commutativité, c'est à dire que pour tous éléments u et v de E
u + v = v + u
Remarque : Remarque 1
S'il existe un élément 0 vérifiant l'axiome 2. ci-dessus, il est unique.
Démonstration : Démonstration de l'unicité de l'élément neutre d'une loi interne, lorsque il existe
Soit E un ensemble muni d'une loi interne associative, qui, pour la généralité de l'exposé, sera notée \perp. Soient deux éléments e et e' vérifiant la définition de l'élément neutre, c'est-à-dire, pour tout élément v de E
v \perp e = e \perp v = v
v \perp e' = e' \perp v = v
Alors, la première propriété utilisée avec v =e' donne
e'\perp e = e \perp e' = e'
La deuxième propriété, utilisée avec v = e donne
e \perp e' = e' \perp e=e
En comparant les deux résultats, il vient l'égalité :
e = e'
De même, si v est un élément de E et s'il existe un élément de E vérifiant l'axiome 3. ci-dessus, il est unique.
Démonstration : Démonstration de l'unicité du symétrique d'un élément de E s'il existe.
Soit E un ensemble muni d'une loi interne, commutative, associative, admettant un élément neutre noté 0. Pour la généralités de l'exposé, elle sera notée \perp.
Soit v un élément de E et soient deux éléments v' et v'' tels que :
v \perp v' = v' \perp v = 0
et
v \perp v'' = v'' \perp v = 0
Le calcul, mené de deux façons différentes, de v' \perp (v \perp v'') donne, en utilisant l'associativité de la loi \perp et les relations précédentes :
v' \perp (v \perp v'') = (v' \perp v) \perp v'' d'où v' \perp (v \perp v'') = 0 \perp v'' d'où v' \perp (v \perp v'') = v''
v' \perp (v \perp v'') = v' \perp v d'où v' \perp (v \perp v'') = v'
et par conséquent :
v' = v''
Remarque : Remarque 2
Les étudiants connaissant la théorie des groupes reconnaîtront dans les axiomes 1.,2.,3. et 4. ci-dessus, les axiomes caractérisant les groupes abéliens.
Axiomes relatifs à la loi externe
Pour tous éléments \lambda et \mu de K, pour tout élément v de E
(\lambda \mu)v = \lambda (\mu v)
Soit 1, l'élément neutre de la multiplication de K. Pour tout élément v de E
1v = v
Axiomes liant les deux lois : double distributivité
Distributivité par rapport à l'addition des scalaires :
Pour tout \lambda et \mu de K et pour tout élément v de E
(\lambda \mu)v = \lambda v + \mu v
Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs :
Pour tout élément\lambda de K et pour tous éléments u et v de E
\lambda (u+v) = \lambda v + \lambda v
lois et espaces verctoriels
La loi interne et la loi externe doivent donc satisfaire à 8 axiomes pour que E muni de ces lois soit un espace vectoriel.