Axiomes

Axiomes relatifs à la loi interne

  1. Associativité, c'est à dire que pour tous éléments et w de E

    (u + v) + w = u + (v + w)

  2. Il existe un élément neutre, c'est à dire qu'il existe un élément de E, noté 0, vérifiant pour tout élément v de E

    v + 0 = 0 + v = v

  3. Tout élément v de E admet un symétrique, c'est à dire qu'il existe un élément v^, de E tel que

    v + v^, = v^, + v = 0

    Cet élément v^, est noté -v

  4. Commutativité, c'est à dire que pour tous éléments u et v de E

    u + v = v + u

RemarqueRemarque 1

S'il existe un élément 0 vérifiant l'axiome 2. ci-dessus, il est unique.

DémonstrationDémonstration de l'unicité de l'élément neutre d'une loi interne, lorsque il existe

Soit E un ensemble muni d'une loi interne associative, qui, pour la généralité de l'exposé, sera notée \perp. Soient deux éléments e et e' vérifiant la définition de l'élément neutre, c'est-à-dire, pour tout élément v de E

v \perp e = e \perp v = v

v \perp e' = e' \perp v = v

Alors, la première propriété utilisée avec v =e' donne

  e'\perp e = e \perp e' = e'

La deuxième propriété, utilisée avec v = e donne

e \perp e' = e' \perp e=e

En comparant les deux résultats, il vient l'égalité :

e = e'

De même, si v est un élément de E et s'il existe un élément de E vérifiant l'axiome 3. ci-dessus, il est unique.

DémonstrationDémonstration de l'unicité du symétrique d'un élément de E s'il existe.

Soit E un ensemble muni d'une loi interne, commutative, associative, admettant un élément neutre noté 0. Pour la généralités de l'exposé, elle sera notée \perp.

Soit v un élément de E et soient deux éléments v' et v'' tels que :

v \perp v' = v' \perp v = 0

et

v \perp v'' = v'' \perp v = 0

Le calcul, mené de deux façons différentes, de v' \perp (v \perp v'') donne, en utilisant l'associativité de la loi \perp et les relations précédentes :

  • v' \perp (v \perp v'') = (v' \perp v) \perp v'' d'où v' \perp (v \perp v'') = 0 \perp v'' d'où v' \perp (v \perp v'') = v''

  • v' \perp (v \perp v'') = v' \perp v d'où v' \perp (v \perp v'') = v'

    et par conséquent :

    v' = v''

RemarqueRemarque 2

Les étudiants connaissant la théorie des groupes reconnaîtront dans les axiomes 1.,2.,3. et 4. ci-dessus, les axiomes caractérisant les groupes abéliens.

Axiomes relatifs à la loi externe

  1. Pour tous éléments \lambda et  \mu de K, pour tout élément v de E

    (\lambda \mu)v = \lambda (\mu v)

  2. Soit 1, l'élément neutre de la multiplication de K. Pour tout élément v de E

    1v = v

Axiomes liant les deux lois : double distributivité

  1. Distributivité par rapport à l'addition des scalaires :

    Pour tout \lambda et \mu de K et pour tout élément v de E

    (\lambda \mu)v = \lambda v + \mu v

  2. Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs :

    Pour tout élément\lambda de K et pour tous éléments u et v de E

    \lambda (u+v) = \lambda v + \lambda v

lois et espaces verctoriels

La loi interne et la loi externe doivent donc satisfaire à 8 axiomes pour que E muni de ces lois soit un espace vectoriel.