Terminologie et notations
On dit aussi, au lieu de \(\mathbf K \textrm{-espace}\) vectoriel, espace vectoriel sur \(\mathbf K\)
Les éléments du corps \(\mathbf K\) sont appelés scalaires, notés en général avec des lettres grecques \(\alpha, \beta,\lambda\) ... Le corps \(\mathbf K\) est appelé le corps des scalaires.
Les éléments de l'espace vectoriel seront appelés vecteurs ou éléments de \(E\) et notés avec des lettres latines \(u, v, U, V, x, y, f, g...\)
La loi de composition interne (notée usuellement +) est appelée couramment l'addition et \(v + v'\) est appelée somme des vecteurs v et \(v'\).
La loi de composition externe est appelée couramment multiplication par un scalaire ou produit par un scalaire. Le scalaire et le vecteur sont juxtaposés côte à côte sans notation particulière.
Complément : Précision
Il est convenu d'écrire le scalaire avant le vecteur, soit, si \(\alpha\) est un scalaire et \(V\) un vecteur, \(\alpha V\). Donc écrire \(V\alpha\) a un autre sens mathématique.
Toutefois dans des exemples, d'autres notations peuvent être utilisées pour les lois.
Attention : Abus de notations usuels
L'élément neutre de la loi interne de \(E\) est noté 0 et appelé vecteur nul. Il pourrait y avoir confusion avec l'élément neutre 0 de \(\mathbf K\). Le contexte permet d'éviter la confusion. Pour ne pas confondre "0" et "0", s'il y a donc des risques d'ambiguïté, l'élément neutre de \(E\) peut être noté \(0_E\) et celui de \(\mathbf K\), \(0_{\mathbf K}\) .
De même pour le symbole " + " : dans l'égalité \((\lambda + \mu)v = \lambda v + \mu v\), le " + " du premier membre de l'égalité désigne l'addition dans le corps \(\mathbf K\), celui du deuxième désigne la loi interne de \(E\). Pour ne pas confondre " + " et " + ", s'il y a des risques d'ambiguïté, ces lois seront notées avec des couleurs différentes.
Remarque : Remarque sur le corps K
La théorie des espaces vectoriels est valable pour un corps \(\mathbf K\) commutatif quelconque, mais dans une première lecture les corps \(\mathbf K\) considérés seront le corps \(\mathbb R\) des nombres réels ou le corps \(\mathbb C\) des nombres complexes. Usuellement la multiplication de deux éléments \(x\) et \(y\) de \(\mathbf K\) se note en juxtaposant \(x\) et \(y\); dans certains cas, il sera utile d'employer le symbole \(\times\).