Définition et exemples pour une famille d'au moins deux vecteurs
Définition : Définition de la dépendance linéaire d'une famille finie d'au moins deux vecteurs
Soient \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\), \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\) et \(v_1, v_2, ... , v_n\) des vecteurs de \(E\).
Les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\) sont dits linéairement dépendants si l'un des vecteurs est combinaison linéaire des autres, c'est-à-dire s'il existe un entier \(p\) compris entre \(1\) et \(n\) et des scalaires \(\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_{p-1}, ... , \alpha_n\) tels que :
\(v_P = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_{p-1} v_{p-1} + \alpha_{p+1} v_{p+1} + ... + \alpha_n v_n\)
Complément : Vocabulaire
Un ensemble de vecteurs linéairement dépendants est aussi appelé famille liée ou partie liée de \(E\).
Cas \(n = 2\) : si \(u\) et \(v\) sont deux vecteurs tels qu'il existe un scalaire \(\lambda\) vérifiant \(u = \lambda v\) (\(u\) et \(v\) sont alors linéairement dépendants), on dit que \(u\) est proportionnel à \(v\).
A noter que si de plus \(u\) et \(v\) sont non nuls, \(v\) est aussi proportionnel à \(u\) (car \(\lambda\) sera nécessairement non nul et donc \(v = \lambda^{-1} u\)). On pourra dire que les vecteurs \(u\) et \(v\) sont proportionnels ou colinéaires.
Exemple : Exemple immédiat
Pour \(E = \mathbb R^4\), \(n = 3\) et \(v_1 = (0,1,1,0), v_2 = (1,1,1,0), v_3 = (1,0,0,0)\).
Il est visible que : \(v_2 = v_3 + v_1\). Ces vecteurs sont donc linéairement dépendants.