Espace vectoriel de type fini

La définition a été donnée pour \(n\) vecteurs avec \(n\) supérieur ou égal à \(2\) car les mots "combinaison linéaire des autres " n'auraient pas beaucoup de sens si \(n\) était égal à \(1\).

Mais la propriété "il existe une combinaison linéaire des vecteurs de la famille égale au vecteur nul avec des coefficients non tous nuls" a un sens si la famille a un seul élément \(v\).

En effet elle se traduit de la manière suivante :

\((*) \exists \lambda \in K, \lambda \neq 0 , \lambda v = 0\)

Comme \(\lambda\) est différent de \(0\), l'égalité \(\lambda v = 0\) implique nécessairement que le vecteur \(v\) soit le vecteur nul (voir les règles de calcul dans un espace vectoriel). Cela prouve que la seule famille à un élément pour laquelle il existe une combinaison linéaire des vecteurs de la famille égale au vecteur nul, avec des coefficients non tous nuls, est la famille réduite au vecteur nul.

Comme il est immédiat que, si \(v\) est le vecteur nul, \(1v = 10_E = 0_E\) et comme \(1\) est différent de \(0\), la famille réduite au vecteur nul satisfait à la propriété \((*)\).