Caractérisation d'une famille liée
On a donc défini la notion de partie liée pour tout ensemble fini de vecteurs et on peut énoncer la propriété suivante :
Fondamental : Condition nécessaire et suffisante pour qu'une famille finie de n vecteurs soit liée (n > ou égale à 1)
Soient \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\), \(n\) un entier supérieur ou égal à \(1\) et \(v_1, v_2, ... , v_n\) des vecteurs de \(E\).
Les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\) sont linéairement dépendants si et seulement s'il existe une combinaison linéaire de \(v_1, v_2, ... , v_n\) égale au vecteur nul avec des coefficients non tous nuls, ce qui peut s'écrire avec les quantificateurs :
\((1) \exists (\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha _n ) \in \mathbf{K}^n - \{ (0,0, ... , 0) \}\) tel que
\(\alpha_1v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_nv_n = 0\)
Complément : Vocabulaire
Une relation du type \(\alpha_1v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_nv_n = 0\) où\( (\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha _n )\) est un élément de \(\mathbf{K}^n - \{ (0,0, ... , 0) \}\) est appelée relation de dépendance linéaire
Remarque :
La condition nécessaire et suffisante qui vient d'être donnée est souvent plus commode que la définition car, dans son énoncé, aucun vecteur ne joue, à priori, de rôle particulier. Elle est souvent utilisée pour démontrer qu'une famille est liée.
Dans la pratique déterminer si une famille est liée ou non se ramènera donc à déterminer si un système linéaire a ou n'a pas de solution non nulle. Cela est illustré dans le premier exemple qui suit.
Exemple : Exemple 1
Soient les vecteurs de \(E = \mathbf{R}^2\), \(u = (4, -2)\), \(v = (-6,3)\).
Les vecteurs \(u, v\) sont-ils linéairement dépendants ?
La réponse sera oui si et seulement il existe \((\alpha, \beta) \neq (0,0)\) tels que \(\alpha u + \beta v = 0\). Il s'agit donc d'étudier cette équation qui est équivalente à l'égalité \(\alpha(4,-2) + \beta(-6,3) = (0,0)\) et donc au système linéaire :
\(A = \left\{\begin{array}{rcrcl}4 \alpha& -& 6 \beta& =& 0\\- 2 \alpha& +& 3 \beta& = &0\end{array}\right.\)
En fait ce système se réduit à une seule équation :
\(- 2 \alpha + 3 \beta = 0\)
qui possède une infinité de solutions et en particulier des solutions non nulles,par exemple
\(\alpha = 3\), \(\beta = 2\).
Cela signifie que l'on a la relation suivante : \(3 u + 2 v = 0_E\)
Les vecteurs u et v sont donc linéairement dépendants.
Exemple : Exemple 2
Soient les éléments \(f, g\) et\( h\) de \(F(\mathbb R,\mathbb R)\) définis par
\(\begin{array}{rccrccrcr}f : \mathbb R &\to&\mathbb R& g : \mathbb R &\to& \mathbb R& h : \mathbb R &\to& \mathbb R\\ x &\mapsto& \sin^2 x &x &\mapsto &\cos^2x & x &\mapsto& 1\end{array}\)
Les formules de trigonométrie permettent d'écrire \(\forall x \in \mathbf{R}, \cos^2x + \sin^2 x = 1\) par conséquent, les fonctions \(f + g\) et \(h\) coincident en tout point \(x\) de \(\mathbf{R}\) et sont donc égales, soit \(f + g = h\).
La fonction h est combinaison linéaire des fonctions \(f\) et \(g\) ce qui permet d'affirmer que les trois fonctions forment une famille liée.