Introduction
Si l'on se souvient de la géométrie usuelle, du plan ou de l'espace, telle qu'elle a été étudiée dans le secondaire, il est clair que l'un des outils essentiels était la décomposition des "vecteurs" sur une "base".
\(\vec i\), \(\vec j\) pour le plan,
ou \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\) pour l'espace.
D'un point de vue plus abstrait, il a été vu dans des exemples que tout élément \((x,y)\) de \(\mathbb R^2\) pouvait s'écrire de manière unique comme combinaison linéaire des éléments \((1,0)\) et \((0,1)\), ce qui prouve, compte tenu de ce que l'on sait (et qui sera rappelé ci-dessous) sur les parties génératrices ou sur les parties libres, que \(\{ (1,0), (0,1)\}\) est une partie libre et génératrice. Dans ce cas là aussi ce type de décomposition joue un rôle extrêmement important. Nous allons étudier la situation générale traduisant ce type de propriété.
Dans une première partie, vont être étudiées de manière intrinsèque les familles finies de vecteurs qui sont à la fois libres et génératrices, avec des caractérisations, puis dans une deuxième partie, on cherchera pour un espace vectoriel quelconque une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une telle famille et on établira une méthode de construction.