Caractérisations d'une base
Première caractérisation d'une base
Théorème :
Soit \(E\) un espace vectoriel. Un \(n\textrm{-uplet}\) \((v_1, v_2, ... ,v_n)\) est une base de \(E\) si et seulement si l'ensemble \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) est une partie libre maximale.
Que signifie la phrase "\(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) est une partie libre maximale" ?
Cela signifie que la partie \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) vérifie les deux propriétés suivantes :
Les vecteurs \(v_1, v_2, ... ,v_n\) sont linéairement indépendants.
Quel que soit le vecteur \(w\) de E, la partie \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) n'est pas libre.
C'est une partie maximale au sens de l'inclusion, c'est à dire que toute partie finie contenant strictement \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) n'est pas libre.
Preuve :
Il s'agit en fait de démontrer que si \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) est une famille libre, la propriété (b) ci-dessus et la propriété " \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) engendre \(E\) " sont équivalentes.
Soit donc \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) une famille libre de vecteurs de \(E\) satisfaisant à la propriété (b) ci-dessus. Alors, pour tout vecteur w de E, \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) n'est pas libre, donc est liée. Or il a été vu dans le cours "Dépendance et Indépendance linéaire", que sous ces hypothèses, le vecteur w est combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... ,v_n\)
Théorème : Enoncé du théorème
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) une partie libre de \(E\).
Si \(u\) est un vecteur de \(E\) tel que \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) soit une partie liée de \(E\), alors \(u\) est combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... ,v_n\).
(Voir la démonstration dans "Dépendance et Indépendance linéaire")
Ceci prouve que tout élément de \(E\) est combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... ,v_n\) qui forment donc une famille de générateurs de \(E\).
Réciproquement, supposons que \(v_1, v_2, ... ,v_n\) soit une famille libre engendrant \(E\).
Alors, tout vecteur \(w\) de \(E\) est une combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... ,v_n\) ce qui prouve que la famille \(v_1, v_2, ... ,v_n\), w est liée, ce qui équivaut à la propriété (b).
Deuxième caractérisation d'une base
Théorème :
Soit \(E\) un espace vectoriel. Un \(n\textrm{-uplet}\) \((v_1, v_2, ... ,v_n)\) est une base de \(E\) si et seulement si l'ensemble \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) est une partie génératrice de \(E\) minimale.
Que signifie la phrase " \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) est une partie génératrice minimale" ?
Cela signifie que la partie \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) vérifie les deux propriétés suivantes :
Les vecteurs \(v_1, v_2, ... ,v_n\) engendrent \(E\).
Si on enlève un vecteur de la partie \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\), la partie obtenue n'est plus génératrice.
C'est une partie minimale au sens de l'inclusion, c'est-à-dire que toute partie finie contenue strictement dans \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) n'est pas une partie génératrice de \(E\).
Preuve :
De même que précédemment, il s'agit de montrer que si \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) est une partie génératrice de \(E\), il y a équivalence entre la propriété (b) ci-dessus et la propriété "les vecteurs \(v_1, v_2, ... ,v_n\) sont linéairement indépendants". Cette preuve comporte deux étapes.
Soit donc \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) une partie génératrice de \(E\), satisfaisant à la propriété (b) ci-dessus. Supposons que les vecteurs \(v_1, v_2, ... ,v_n\) ne soient pas linéairement indépendants. Ils sont donc linéairement dépendants ce qui signifie que l'un des vecteurs est combinaison linéaire des autres.
Autrement dit, il existe un entier i compris entre \(1\) et \(n\) tel que \(\displaystyle { \sum_{j = 1, j \ne 1}^{j = n} \alpha_j v_j}\) Compte tenu de ce qui a été vu dans la ressource "Ensemble fini de générateurs d'un espace vectoriel", cela implique que \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) est une partie génératrice de \(E\).
Propriété : Enoncé de la propriété
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) une partie engendrant \(E\).
Si l'un des vecteurs \(v_i\), par exemple, est combinaison linéaire des autres, la partie \(\{v_1, v_2, ... ,v_n\}\) engendre \(E\).
(Voir la démonstration dans le cours "Ensemble fini de générateurs d'un espace vectoriel")