Caractérisations d'une base [Espace vectoriel de type fini]

Caractérisations d'une base

Première caractérisation d'une base

Théorème :

Soit $E$ un espace vectoriel. Un $n\textrm{-uplet}$ $(v_1, v_2, ... ,v_n)$ est une base de $E$ si et seulement si l'ensemble $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ est une partie libre maximale.

Que signifie la phrase " $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ est une partie libre maximale" ?

Cela signifie que la partie $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ vérifie les deux propriétés suivantes :

Les vecteurs $v_1, v_2, ... ,v_n$ sont linéairement indépendants.
Quel que soit le vecteur $w$ de E, la partie $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ n'est pas libre.

C'est une partie maximale au sens de l'inclusion, c'est à dire que toute partie finie contenant strictement $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ n'est pas libre.

Preuve :

Il s'agit en fait de démontrer que si $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ est une famille libre, la propriété (b) ci-dessus et la propriété " $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ engendre $E$ " sont équivalentes.

Soit donc $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ une famille libre de vecteurs de $E$ satisfaisant à la propriété (b) ci-dessus. Alors, pour tout vecteur w de E, $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ n'est pas libre, donc est liée. Or il a été vu dans le cours "Dépendance et Indépendance linéaire", que sous ces hypothèses, le vecteur w est combinaison linéaire des vecteurs $v_1, v_2, ... ,v_n$

Théorème : Enoncé du théorème

Soit $E$ un $\mathbf K\textrm{-espace}$ vectoriel et $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ une partie libre de $E$ .

Si $u$ est un vecteur de $E$ tel que $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ soit une partie liée de $E$ , alors $u$ est combinaison linéaire des vecteurs $v_1, v_2, ... ,v_n$ .

(Voir la démonstration dans "Dépendance et Indépendance linéaire")

Ceci prouve que tout élément de $E$ est combinaison linéaire des vecteurs $v_1, v_2, ... ,v_n$ qui forment donc une famille de générateurs de $E$ .

Réciproquement, supposons que $v_1, v_2, ... ,v_n$ soit une famille libre engendrant $E$ .

Alors, tout vecteur $w$ de $E$ est une combinaison linéaire des vecteurs $v_1, v_2, ... ,v_n$ ce qui prouve que la famille $v_1, v_2, ... ,v_n$ , w est liée, ce qui équivaut à la propriété (b).

Deuxième caractérisation d'une base

Théorème :

Soit $E$ un espace vectoriel. Un $n\textrm{-uplet}$ $(v_1, v_2, ... ,v_n)$ est une base de $E$ si et seulement si l'ensemble $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ est une partie génératrice de $E$ minimale.

Que signifie la phrase " $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ est une partie génératrice minimale" ?

Cela signifie que la partie $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ vérifie les deux propriétés suivantes :

Les vecteurs $v_1, v_2, ... ,v_n$ engendrent $E$ .
Si on enlève un vecteur de la partie $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ , la partie obtenue n'est plus génératrice.
C'est une partie minimale au sens de l'inclusion, c'est-à-dire que toute partie finie contenue strictement dans $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ n'est pas une partie génératrice de $E$ .

Preuve :

De même que précédemment, il s'agit de montrer que si $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ est une partie génératrice de $E$ , il y a équivalence entre la propriété (b) ci-dessus et la propriété "les vecteurs $v_1, v_2, ... ,v_n$ sont linéairement indépendants". Cette preuve comporte deux étapes.

Soit donc $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ une partie génératrice de $E$ , satisfaisant à la propriété (b) ci-dessus. Supposons que les vecteurs $v_1, v_2, ... ,v_n$ ne soient pas linéairement indépendants. Ils sont donc linéairement dépendants ce qui signifie que l'un des vecteurs est combinaison linéaire des autres.

Autrement dit, il existe un entier i compris entre $1$ et $n$ tel que $\displaystyle { \sum_{j = 1, j \ne 1}^{j = n} \alpha_j v_j}$ Compte tenu de ce qui a été vu dans la ressource "Ensemble fini de générateurs d'un espace vectoriel", cela implique que $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ est une partie génératrice de $E$ .

Propriété : Enoncé de la propriété

Soit $E$ un $\mathbf K\textrm{-espace}$ vectoriel et $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ une partie engendrant $E$ .

Si l'un des vecteurs $v_i$ , par exemple, est combinaison linéaire des autres, la partie $\{v_1, v_2, ... ,v_n\}$ engendre $E$ .

(Voir la démonstration dans le cours "Ensemble fini de générateurs d'un espace vectoriel")