Exemples
La plupart d'entre eux ont été déjà cités dans les ressources concernant les notions de partie génératrice finie ou de famille libre.
Exemple : Exemple 1
Soient les vecteurs \(e_1 = (1, 0)\) et \(e_2 = (0,1)\); alors \((e_1, e_2)\) est une base de \(\mathbb R^2\).
Exemple : Exemple 2
Soient les vecteurs
\(e_1 = (1,0,0, ... ,0), e_2 = (0,1,0, ... ,0), ... , e_i = (0,0, ... ,0,1,0, ... ,0),... , e_n = (0,0,0, ... ,1)\)
(toutes les composantes de \(e_i\) sont nulles sauf la i-ème qui est égale à 1) ; alors \((e_1, e_2, ... , e_n)\) est une base de \(\mathbb R^2\) appelée la base canonique de \(\mathbb R^2\).
Un élément \(x = (x_1, x_2, ... , x_n)\) de \(\mathbb R^2\) s'écrit dans la base canonique sous la forme :
\(x = (x_1, x_2, ... , x_n) = x_1e_1 + x_2e_2 + ... x_n e_n\)
ce qui signifie que la i-ème composante de \(x\) est égale à la \(i\textrm{-\`eme}\) coordonnée de \(x\) dans la base canonique. Le \(n\textrm{-uplet}\) des coordonnées de \(x\) dans la base canonique est égal à \(x\); cela justifie la dénomination de "base canonique".
Exemple : Exemple 3
\(E = \mathbb R^2\). Soient les vecteurs \(\varepsilon_1 = (1,0)\) et \(\varepsilon_2 = (1,1)\); alors \((\varepsilon_1, \varepsilon_2)\) est une base de \(\mathbb R^2\).
Cet exemple prouve qu'il peut \(y\) avoir des bases différentes sur un même espace vectoriel. Cependant, une remarque peut être faite : les deux bases ont chacune deux éléments.
Si \(x\) et \(y\) sont les coordonnées d'un vecteur \(u\) de \(\mathbb R^2\) dans la base canonique \((e_1, e_2)\) , \(u\) s'écrit : \(u = (x - y)\varepsilon_1 + y \varepsilon_2\) (cela résulte immédiatement de la démonstration).
Démonstration :
Il s'agit donc de démontrer que les vecteurs \(\varepsilon_1 = (1,0)\) et \(\varepsilon_2 = (1,1)\) sont linéairement indépendants et engendrent \(\mathbb R^2\).
Soient \(\varepsilon_1\) et \(\varepsilon_2\) deux réels tels que \(\lambda_1\varepsilon_1 + \lambda_2\varepsilon_2 = 0\). Alors ils sont solutions du système :
\(\left\{\begin{array}{rcrcl}\lambda_1&+ &\lambda_2& =& 0\\&&\lambda_2 &=&0\\\end{array}\right.\)
Ce système n'a que le couple \((0,0)\) comme solution.
Donc \(\lambda_1 \varepsilon_1 + \lambda_2 \varepsilon_2 = 0\) implique que \(\lambda_1 = 0\) et \(\lambda_2 = 0\). La famille \(\{\varepsilon_1, \varepsilon_2\}\) est donc libre.
Montrons qu'elle engendre \(\mathbf{R}^2\).
Soit \(u = (x,y)\) un élément de \(\mathbf{R}^2\). Il s'agit de trouver des scalaires \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) tels que
\(\lambda_1 \varepsilon_1 + \lambda_2\varepsilon_2 = u\). L'existence de \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) équivaut à l'existence d'une solution au système :
\(\left\{\begin{array}{rcrcl}\lambda_1&+&\lambda_2&=&x\\&&\lambda_2&=&y\end{array}\right.\)
Il est immédiat que, pour tout réel \(x\) et \(y\), ce système admet une solution qui est \(\lambda_1 = x - y, \lambda_2 = y\)
Ceci achève la démonstration.
Exemple : Exemple 4
\(E = P_n ( \mathbb R)\), l'espace vectoriel réel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à n. Soient les fonctions \(f_k\) , \(0 \le k \le n\), définies de la manière suivante : \(f_k : x \mapsto f_k (x) = x^k\) . Alors \((f_0, f_1, ... , f_n)\) est une base de \(P_n (\mathbf{R})\) appelée souvent base canonique de \(P_n ( \mathbb R)\).
Supposons \(n=2\).
Donnons un exemple de recherche de coordonnées d'un élément de \(P_2( \mathbb R)\) dans sa base canonique.
Soit \(f: x \mapsto f(x) = x^2 - x + 2\). Alors f s'écrit : \(f = 2 f_0 - f_1 + f_2\).
Le triplet des coordonnées de f dans la base \((f_0, f_1, f_2)\) est donc \((2, -11)\).
Soient les éléments \(g_0, g_1, g_2\) de \(P_2( \mathbb R)\) définis par :
\(g_0 : x \mapsto x ^2 \mathrm{ }\mathrm{ } g_1 : x \mapsto x \mathrm{ }\mathrm{ } g_2 : x \mapsto 1\)
\((g_0, g_1, g_2)\) est une base de \(P_2( \mathbb R)\) (cela résulte immédiatement de la remarque 2 de la page précédente). La fonction polynôme \(f : x \mapsto f(x) = x^2 - x + 2\) s'écrit dans cette nouvelle base : \(f = g_0 - g_1 + 2g_2\)
Donc le \(3\)-uplet des coordonnées de \(f\) dans la base \((g_0, g_1, g_2)\) est \((1,-1,2)\)
Cela illustre bien l'importance de l'ordre introduit sur les vecteurs d'une base.
Démonstration :
Il s'agit donc de démontrer que la famille \(\{ f_k, 0 \le k \le n \}\) engendre \(P_n ( \mathbb R)\) et est libre. On sait qu'une fonction polynôme sur \(\mathbb R\) de degré inférieur ou égal à \(n\) est une fonction \(f\) de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) telle qu'il existe \(n+1\) éléments \(a_0\), \(a_1, ... , a_n\) de \(\mathbb R\) tels que :
\(\forall x \in \mathbb R, f(x) := a_0 + a_1x + ... + a_n x^n\)
Cela signifie que si \(f\) est un élément de l'espace vectoriel \(P_n( \mathbb R)\) , il existe \(n+1\) éléments \(a_0, a_1, ... , a_n\) de \(\mathbb R\) tels que :
\(f = a_0f_0 + a_1f_1 + ... + a_n f_n\)
Donc la famille \(\{ f_k, 0\le k \le n\}\) engendre \(P_n ( \mathbb R)\).
Il a déjà été démontré dans les exercices guidés illustrant le cours "Dépendance et indépendance linéaire" que cette famille était libre. D'où le résultat.
Exemple : Exemple 5
\(E = \mathbb C\) considéré comme un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel.
Soient les vecteurs \(e_1 = 1\) et \(e_2 = i\) avec \(i^2 = -1\). Alors \((e_1, e_2)\) est une base de \(\mathbb C\).
Exemple : Exemple 6
\(E = C\) considéré comme un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel.
Soient les vecteurs \(\varepsilon_1 = 1\) et \(\varepsilon_2 = z\) avec \(z\) nombre complexe non réel. Alors \((\varepsilon_1, \varepsilon_2)\) est une base de\( \mathbb C\).
Démonstration :
Il s'agit donc de démontrer que la famille \(\{ \varepsilon_1, \varepsilon_2 \}\) engendre le \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C\) et qu'elle est libre.
Le nombre complexe \(z\) peut s'écrire \(z = a+ib\) où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels, avec \(b\) non nul. Cela permet d'écrire le nombre complexe i sous la forme\( i = \frac{1}{b} (z - a)\).
Alors, un nombre complexe quelconque \(u = u_1 + iu_2\) (\(u_1, u_2\) réels) s'écrit :
\(u = u_1 +\frac{1}{b} (z - a) u_2\) soit \(u = (u_1 - \frac{1}{b}a u_2) \varepsilon_1 + \frac{1}{b} u_2 \varepsilon_2\) avec \(u_1 - 1/b a u_2\) et \(\frac{1}{b}\) réels.
Donc\( \{ \varepsilon_1, \varepsilon_2 \}\) engendre le \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C\).
De plus cette famille est libre : en effet soient deux réels \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\)
tels que \(\lambda_1 \varepsilon_1 + \lambda_2 \varepsilon_2 = 0\). Cela équivaut à l'égalité qui est équivalente au système :
\(A=\left\{\begin{array}{rcrcl}\lambda_1&+&\lambda_2 a&=&0\\&&\lambda_2b&=&0\end{array}\right.\)
dont les solutions sont \(\lambda_1 = 0\) et \(\lambda_12 = 0\).
Ceci achève la démonstration.
Exemple : Exemple 7
Tout élément non nul de \(\mathbf K\) est une base de \(E\). En effet, si \(x\) est un élément non nul de \(\mathbf K\), tout élément \(y\) de \(\mathbf K\) peut s'écrire \(y = \frac{y}{x}x\). Dans cette égalité \(\frac{y}{x}\) joue le rôle d'un scalaire. Ceci prouve que \(\{x\}\) engendre \(\mathbf K\) considéré comme un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel. Comme \(x\) est un élément non nul de \(\mathbf K\) \(\{x\}\) est une partie libre d'où le résultat.
Si \(\mathbf K\) est un corps infini (par exemple \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\)), cet exemple prouve qu'il peut y avoir une infinité de bases sur un même espace vectoriel.