Théorème de la base incomplète
Une conséquence extrêmement importante de ce qui précède est le théorème suivant :
Théorème : Théorème de la "base incomplète"
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini, non réduit à \(\{0\}\). Soit \(G\) une partie génératrice finie de \(E\) et \(L\) une partie libre de \(E\). Alors il existe une partie \(G'\) de \(G\) telle que, en notant \(\{v_1, v_2, ... , v_n\}\) la partie\( L \cup G'\), \((v_1, v_2, ... , v_n)\) soit une base de \(E\).
Preuve :
Pour justifier ce théorème fondamental, il suffit d'utiliser la propriété précédente en partant de la part \(G_1 = L \cup G\) et de la partie libre \(L\) incluse dans \(L \cup G\).
Ce théorème sera extrêmement utile dans la pratique.