Espace vectoriel de type fini

Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini. Alors tout sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) est de type fini, et sa dimension est inférieure ou égale à celle de \(E\); la dimension de \(F\) est égale à celle de \(E\) si et seulement si le sous-espace \(F\) est égal à l'espace \(E\) tout entier.

\(\left.\begin{array}{c c c}\textrm{E est de type fini et}\\\textrm{F sous-espace vectotoriel de E}\end{array}\right\}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c c c}\textrm{F est de type fini et}\\\textrm{ dim} F \le \mathrm{ dim}E\end{array}\right.\)

\(\mathrm{ dim} F = \mathrm{ dim} E \Leftrightarrow F = E\)

La démonstration est triviale dans le cas où le sous espace \(F\) est réduit à \(\{0\}\).

Soit donc \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\), \(F \ne \{0\}\), et soit n la dimension de \(E\); \(n\) est un entier strictement positif puisque \(E\), qui contient \(F\), n'est pas réduit à \(\{0\}\).

Soit \(v\) un élément non nul de \(F : \{v\}\) est une partie libre de \(F\), donc \(F\) contient des parties libres.

Toute partie libre d'éléments de \(F\) étant une partie libre d'éléments de \(E\) (voir la définition des parties libres), comme \(E\) est de dimension \(n\), toutes les parties libres de \(F\) ont au plus \(n\) éléments.

On considère l'ensemble \(A\) des entiers \(k\) tels qu'il existe une partie libre de \(F\) ayant \(k\) éléments :

\(A = \{ k \in \mathbb N, \exists \{ f_1, f_2, ... , f_k\} \subset \mathbb F \textrm{ et } \{ f_1, f_2, ... , f_k\} \textrm{ partie libre de } F\}\)

Cet ensemble \(A\), non vide \((1 \in A)\), est un sous-ensemble borné de \(\mathbb N\) (puisque tout élément de \(A\) est compris entre 1 et \(n\)) donc il admet un maximum.

Soit \(p\) ce maximum et soit \(\{v_1, v_2, ... , v_p\}\) une partie libre de \(F\) ayant \(p\) éléments; cette partie libre est donc une partie libre maximale de \(F\).

D'après la propriété des parties libres maximales d'un espace vectoriel (vue dans la ressource "Bases"), la partie \(\{v_, v_2, ... , v_p\}\) est une partie génératrice de \(F\) et donc détermine une base de \(F\).

On a ainsi démontré simultanément que

• \(F\) est de type fini (puisque \(\{v_, v_2, ... , v_p\}\) est une partie génératrice de \(F\)),

• \(\mathrm{dim} F = p\), donc \(\mathrm{dim} F \le \mathrm{dim}E\) (puisque toute partie libre de \(F\) a au plus \(n\) éléments).

De plus, lorsque \(p = n\), le \(p\textrm{-uplet}\) \((v_1, v_2, ... , v_p)\), qui est une base de \(F\), est aussi une base de \(E\) (car \((v_1, v_2, ... , v_p)\) est alors une partie libre de \(E\) ayant exactement \(n\) éléments), donc tout élément de \(E\) s'écrit comme une combinaison linéaire des \(v_i, 1\le i \le p\) , donc appartient à \(F\), d'où \(F = E\).