Comparaison des dimensions de 2 sous-espaces vectoriels
Dans le cas plus général où \(E\) est un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel quelconque et \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de type fini de \(E\), la comparaison des dimensions de \(F\) et de \(G\) ne donne pas d'information sur \(F\) et \(G\), les dimensions peuvent être égales sans que ces sous-espaces soient égaux, mais si \(F\) est contenu dans \(G\), il peut être considéré comme un sous-espace vectoriel de \(G\) et le théorème précédent permet de déduire le corollaire suivant :
Corollaire :
Soient \(F\) et \(G\) deux sous espaces vectoriels de type fini de \(E\), tels que \(F\) soit contenu dans \(G\). Alors la dimension de \(F\) est inférieure ou égale à la dimension de \(G\) et les dimensions de \(F\) et de \(G\) sont égales si et seulement si \(F\) et \(G\) sont égaux.
\(\begin{array}{ccl}F\subset G &\Rightarrow& \mathrm{dim}F\le \mathrm{dim}G\\F\subset G\textrm{ et }\mathrm{dim}F =\mathrm{dim}G &\Leftrightarrow& F=G\end{array}\)
Exemple :
Deux droites \(F\) et \(G\) d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) sont soit égales, soit d'intersection réduite au vecteur nul.