Espace vectoriel de type fini

Soient \(F\) et \(G\) les sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\) suivants :

\(F  := \{(x,y,z) \in \mathbb R^3 / 2x - 3 y + z = 0\}\) et

\(G := \mathrm{Vect}({u,v})\) où \(u = (1,1,1)\) et \(v = (2,1,-1)\)

On veut montrer que \(F = G\)

On remarque que les vecteurs \(u\) et\( v\) ne sont pas colinéaires, donc \(G\) est de dimension \(2\), et de plus ils appartiennent à \(F\), donc \(G\) est contenu dans \(F\).

Pour trouver la dimension de \(F\), on pourrait déterminer une base de \(F\), on montrerait alors que la dimension de \(F\) est \(2\).

Mais il est plus judicieux ici de remarquer que \(F\) est contenu strictement dans \(\mathbb R^3\) (par exemple : le vecteur \((1,0,0)\) de \(\mathbb R^3\) n'est pas dans \(F\)), donc la dimension de \(F\) est strictement inférieure à \(3\); mais puisque \(F\) contient \(G\), la dimension de \(F\) est supérieure ou égale à \(2\), donc la dimension de \(F\) ne peut être que \(2\).

On a donc démontré que \(G\) est contenu dans \(F\) et que \(F\) et \(G\) ont la même dimension ; ceci entraîne que \(F\) est égal à \(G\).