Base de l'espace des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 3
Partie
Question
On considère les fonctions suivantes :
\(f:x\mapsto1\)
\(g:x\mapsto x\)
\(h:x\mapsto x(x+1)\)
\(k:x\mapsto x(x+1)(x+2)\)
Montrer que \((f,g,h,k)\) est une base de l'espace vectoriel \(P_3(\mathbb R)\) des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à \(3\).
Aide simple
Pour démontrer que la partie \(\{f,g,h,k\}\) est libre, on peut écrire les quatre vecteurs de cette partie dans la base canonique de \(P_3(\mathbb R)\).
Aide méthodologique
L'espace vectoriel \(P_3(\mathbb R)\) a pour dimension \(4\) et la partie \(\{f,g,h,k\}\) contient exactement quatre vecteurs.
Pour démontrer que \((f,g,h,k)\) est une base de \(P_3(\mathbb R)\), il suffit de démontrer que la partie \(\{f,g,h,k\}\) est une partie libre de \(P_3(\mathbb R)\) ou bien que c'est une partie génératrice \(P_3(\mathbb R)\).
Il est en général plus simple de démontrer qu'une partie est libre.
Solution détaillée
L'espace vectoriel \(P_3(\mathbb R)\) a pour dimension \(4\) et la partie \(\{f,g,h,k\}\) contient quatre vecteurs.
Pour démontrer que \((f,g,h,k)\) est une base de \(P_3(\mathbb R)\), il suffit donc de démontrer que la partie \(\{f,g,h,k\}\) est une partie libre de \(P_3(\mathbb R)\).
Soient \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) et \(\delta\) quatre réels vérifiant l'égalité \(\alpha f+\beta g+\gamma h+\delta k=0\).
On peut écrire chacun des vecteurs \(f\), \(g\), \(h\), \(k\) dans la base canonique \((e_0,e_1,e_2,e_3)\)
\(e_0:x\mapsto1\)
\(e_1:x\mapsto x\)
\(e_2:x\mapsto x^2\)
\(e_3:x\mapsto x^3\)
\(f=e_0~ ;~g=e_1~ ;~h=e_1+e_2~ ;~k=2e_1+3e_2+e_3\)
L'égalité \(\alpha f+\beta g+\gamma h+\delta k=0\) s'écrit donc \(\alpha e_0+\beta e_1+\gamma(e_1+e_2)+\delta(2e_1+3e_2+e_3)=0\),
ce qui est équivalent à \(\alpha e_0+(\beta+\gamma+2\delta)e_1+(\gamma+3\delta)e_2+\delta e_3=0\).
\((e_0,e_1,e_2,e_3)\) étant une base de \(P_3(\mathbb R)\), la famille \(\{e_0,e_1,e_2,e_3\}\) est libre et donc le quadruplet \((\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) est solution du système :
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcl}\alpha&&&&&&&=&0\\&&\beta&+&\gamma&+&2\delta&=&0\\&&&&\gamma&+&3\delta&=&0\\&&&&&&\delta&=&0\end{array}\right.\)
\((0,0,0,0)\) est la seule solution de ce système.
La partie \(\{f,g,h,k\}\) est donc une partie libre de \(P_3(\mathbb R)\), et donc une base de \(P_3(\mathbb R)\).