Dimension d'un sous-espace de F(R,R)
Partie
Question
On considère l'ensemble \(E\) défini par :
\(E=\{f\in F(\mathbb R,\mathbb R),~\exists(\alpha,\varphi)\in\mathbb R^2,~\forall x\in\mathbb R~~f(x)=a\cos(x-\varphi)\}\)
Montrer que \(E\) muni des lois habituelles est un espace vectoriel.
Quelle est sa dimension ?
Aide simple
En utilisant la formule \(\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\), montrer que si une fonction \(f\) est élément de \(E\) alors elle s'écrit comme combinaison linéaire des fonctions \(f_1:x\mapsto\cos x\) et \(f_2:x\mapsto\sin x\).
Etudier la réciproque.
Aide méthodologique
L'ensemble \(E\) est inclus dans l'ensemble des fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) noté \(F(\mathbb R,\mathbb R)\). Pour montrer que \(E\) est un espace vectoriel, il suffit de montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel \(F(\mathbb R,\mathbb R)\).
Pour déterminer la dimension de l'espace vectoriel \(E\) il suffit de trouver une base de \(E\).
Aide à la lecture
Les éléments de \(E\) sont des fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\).
Une fonction \(f\) appartient à \(E\) si et seulement si il existe deux réels \(a\) et \(\varphi\) tels que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=a\cos(x-\varphi)\).
Par exemple la fonction \(x\mapsto\cos x\) appartient à \(E\).
De même la fonction \(x\mapsto\sin x\) est élément de \(E\) car, pour tout réel \(x\), \(\displaystyle{\sin x=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}\).
Solution détaillée
Pour tout élément \(f\) de \(E\), il existe deux réels \(a\) et \(\varphi\) tels que pour tout réel \(x\), \(f(x)=a\cos(x-\varphi)\quad(1)\)
En utilisant la formule \(\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\), l'égalité \((1)\) s'écrit
\(f(x)=a\cos x\cos\varphi+a\sin x\sin\varphi\)
Soient \(f_1\) et \(f_2\) les fonctions définies par : \(f_1:x\mapsto\cos x\) et \(f_2:x\mapsto\sin x\).
Une fonction \(f\) appartient donc à \(E\) si et seulement si il existe deux réels \(a\) et \(\varphi\) tels que :
\(f=a\cos\varphi f_1+a\sin\varphi f_2\)
Tout élément de \(E\) s'écrit donc comme combinaison linéaire des fonctions \(f_1\) et \(f_2\), l'ensemble \(E\) est donc inclus dans le sous-espace vectoriel \(G\) de \(F(\mathbb R,\mathbb R)\), qui est engendré par les fonctions \(f_1\) et \(f_2\).
On essaie de démontrer l'inclusion dans l'autre sens.
Soit \(g\) un élément de \(G\). Il existe donc deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(g=\alpha f_1+\beta f_2\).
Peut-on trouver deux réels \(a\) et \(\varphi\) tels que \(\alpha=a\cos\varphi\) et \(\beta=a\sin\varphi\) ?
Si \((\alpha,\beta)=(0,0)\) alors \(a=0\) et \(\varphi\) réel quelconque conviennent.
Si \((\alpha,\beta)\ne(0,0)\) on considère le nombre complexe non nul \(z\), tel que \(z=\alpha+i\beta\).
On sait qu'il existe un réel \(a\) positif et un réel \(\varphi\) tels que \(z=a(\cos\varphi+i\sin\varphi)\)
(écriture trigonométrique d'un nombre complexe non nul, \(a=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\) et \(\varphi\) est déterminé à \(2k\pi\) près par \(\displaystyle{\cos\varphi=\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}}\) et \(\displaystyle{\sin\varphi=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}}\)).
Il existe donc deux réels \(a\) et \(\varphi\) tels que \(\alpha=a\cos\varphi\) et \(\beta=a\sin\varphi\).
Pour tout élément \(g\) de \(G\) il existe donc deux réels \(a\) et \(\varphi\) tels que \(g=a\cos\varphi f_1+a\sin\varphi f_2\).
(Le couple \((a,\varphi)\) n'est pas unique : si le couple \((a,\varphi)\) convient, les couples \((a,\varphi+2k\pi)\) et \((-a,\varphi+\pi+2k\pi)\) conviennent aussi)
L'ensemble \(G\) est donc inclus dans l'ensemble \(E\).
L'ensemble \(E\) est donc le sous-espace vectoriel de \(F(\mathbb R,\mathbb R)\), engendré par les fonctions \(f_1\) et \(f_2\).
C'est donc un espace vectoriel.
On cherche maintenant une base de cet espace vectoriel.
La partie \(\{f_1,f_2\}\) est une partie génératrice de \(E\). Est-elle libre ?
Soient deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\alpha f_1+\beta f_2=0\).
Pour tout réel \(x\), \(\alpha f_1(x)+\beta f_2(x)=0\) c'est-à-dire \(\alpha\cos x+\beta\sin x=0\).
Si \(x=0\), on obtient \(\alpha=0\) et si \(\displaystyle{x=\frac{\pi}{2}}\), on obtient \(\beta=0\).
L'égalité \(\alpha f_1+\beta f_2=0\) n'est vraie que lorsque \((\alpha,\beta)=(0,0)\).
La partie \(\{f_1,f_2\}\) est donc libre.
On a trouvé une partie libre et génératrice de \(E\) formée de deux éléments.
La dimension de \(E\) est donc égale à deux.
Remarque :
Dans cet exercice on a montré le résultat suivant :
si, pour tout réel \(x\), \(f(x)=\alpha\cos x+\beta\sin x\) alors \(f(x)\) peut s'écrire aussi sous la forme \(f(x)=a\cos(x-\varphi)\). \(a\) et \(\varphi\), lorsque \(a\) est positif, sont appelés amplitude et déphasage de \(f\).