Base du R-espace vectoriel C
Partie
Question
Déterminer les nombres complexes \(z\) pour lesquels \((z,\overline{z})\) est une base du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C\).
Aide simple
Pour savoir si \(\{z,\overline{z}\}\) est une partie libre du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C\) considérer deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\alpha z+\beta\overline{z}=0\),
puis utiliser l'écriture algébrique du nombre complexe \(z\), c'est-à-dire utiliser la base \((1,i)\) du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C\).
Aide méthodologique
La dimension du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C\) étant égale à deux et la partie \(\{z,\overline{z}\}\) contenant deux vecteurs, \((z,\overline{z})\) est une base du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C\) si et seulement si la partie \(\{z,\overline{z}\}\) est une partie libre de cet espace vectoriel.
Déterminer les nombres complexes \(z\) pour lesquels \((z,\overline{z})\) est une base du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C\) revient donc à déterminer les nombres complexes \(z\) pour lesquels \(\{z,\overline{z}\}\) est une partie libre du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C\).
Aide à la lecture
Dans cet exercice \(\mathbb C\) est considéré comme espace vectoriel sur \(\mathbb R\). Les scalaires sont donc des nombres réels et les vecteurs sont des nombres complexes.
Solution détaillée
La dimension du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C\) étant égale à deux et la partie \(\{z,\overline{z}\}\) contenant deux vecteurs, le couple \((z,\overline{z})\) est une base du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C\) si et seulement si \(\{z,\overline{z}\}\) est une partie libre de cet espace vectoriel.
On cherche donc les nombres complexes \(z\) pour lesquels \(\{z,\overline{z}\}\) est une partie libre du \(\mathbb R\)-espace vectoriel \(\mathbb C\).
On cherche les réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\alpha z+\beta\overline{z}=0\).
Pour tout nombre complexe \(z\) il existe un couple unique \((a,b)\) de \(\mathbb R^2\) tel que \(z=a+bi\).
L'égalité \(\alpha z+\beta\overline{z}=0\) s'écrit donc : \(\alpha(a+bi)+\beta(a-bi)=0\) ou aussi \(a(\alpha+\beta)+b(\alpha-\beta)i=0\).
\((1,i)\) étant une base du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C\), les couples \((\alpha,\beta)\) de \(\mathbb R^2\) vérifiant \(\alpha z+\beta\overline{z}=0\) sont donc les solutions du système :
\((S)~\left\{\begin{array}{ccc}a(\alpha+\beta)&=&0\\b(\alpha-\beta)&=&0\end{array}\right.\)
On cherche les couples \((a,b)\) de \(\mathbb R^2\) pour lesquels ce système, d'inconnue \((\alpha,\beta)\), a le couple \((0,0)\) pour seule solution.
On sait que l'on doit avoir \((a,b)\ne(0,0)\) car \(z\ne0\) est une condition nécessaire pour que \(\{z,\overline{z}\}\) soit libre.
Si \(a\ne0\) et \(b=0\) le système \((S)\) est équivalent à \(\alpha+\beta=0\).
Il a donc une infinité de solutions.
Si \(b\ne0\) et \(a=0\) le système \((S)\) est équivalent à \(\alpha-\beta=0\).
Il a donc une infinité de solutions
Si \(a\ne0\) et \(b\ne0\) le système \((S)\) est équivalent à \(\left\{\begin{array}{ccc}\alpha+\beta&=&0\\\alpha-\beta&=&0\end{array}\right.\)
et donc a pour seule solution le couple \((0,0)\).
Le système \((S)\) a donc le couple \((0,0)\) pour unique solution si et seulement si \(a\ne0\) et \(b\ne0\).
Le nombre complexe \(z\) s'écrit \(z=a+bi\).
la condition \(a\ne0\) est donc la condition : " \(z\) n'est pas un imaginaire pur "
la condition \(b\ne0\) est donc la condition : " \(z\) n'est pas un nombre réel "
\((z,\overline{z})\) est donc une base du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C\) si et seulement si \(z\) n'est ni réel ni imaginaire pur.