Dimension et base du R-espace C^n
Partie
Question
Déterminer la dimension de \(\mathbb C^n\) considéré comme espace vectoriel sur \(\mathbb R\).
Donner une base de cet espace vectoriel.
Aide simple
\(\dim_{\mathbb R}\mathbb C=2\) et \((1,i)\) est une base du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C\).
Aide méthodologique
Pour trouver la dimension du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C^n\), on peut utiliser le résultat sur la dimension du produit cartésien d'espaces vectoriels.
Pour trouver une base de cet espace vectoriel, on cherche une partie génératrice de cet espace vectoriel en écrivant chaque composante d'un \(n\textrm{-uplet}\) de \(\mathbb C^n\) dans la base du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C\).
Aide à la lecture
Les éléments de \(\mathbb C^n\) sont des \(n\textrm{-uplets}\) de nombres complexes et la loi externe est la multiplication par un nombre réel.
Solution détaillée
\(\dim_{\mathbb R}\mathbb C=2\)
En utilisant le résultat suivant :
Soient \(F_1,F_2,\ldots,F_n\) \(n\) espaces vectoriels de type fini sur un même corps \(\mathbf K\).
Alors \(\dim(F_1\times F_2\times\cdots\times F_n)=\dim F_1+\dim F_2+\cdots+\dim F_n\)
on obtient \(\dim_{\mathbb R}\mathbb C^n=2n\).
On cherche maintenant une base du \(\mathbb R\)-espace vectoriel \(\mathbb C^n\).
Soit \((z_1,z_2,\ldots,z_n)\) un élément de \(\mathbb C^n\).
\((1,i)\) est une base du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C\), donc pour tout entier \(k\), compris entre \(1\) et \(n\), il existe un couple \((a_k,b_k)\) de \(\mathbb R^2\), tel que \(z_k=a_k+b_ki\).
On a alors \((z_1,z_2,\ldots,z_n)=(a_1+b_1i,a_2+b_2i,\ldots,a_n+b_ni)\) d'où
\((z_1,z_2,\ldots,z_n)=a_1(1,0,\ldots,0)+a_2(0,1,\ldots,0)+\cdots+a_n(0,0,\ldots,1)+b_1(i,0,\ldots,0)+b_2(0,i,\ldots,0)+\cdots+b_n(0,0,\ldots,i)\)
\(\{(1,0,\ldots,0),(0,1,\ldots,0),\ldots,(0,0,\ldots,1),(i,0,\ldots,0),(0,i,\ldots,0),\ldots,(0,0,\ldots,i)\}\) est une partie génératrice du \(\mathbb R\)-espace vectoriel \(\mathbb C^n\).
Elle contient \(2n\) vecteurs et \(\dim_{\mathbb R}\mathbb C^n=2n\), elle détermine donc une base de cet espace vectoriel.
Si le résultat sur la dimension n'était pas connu, on pourrait démontrer que la partie génératrice trouvée est une partie libre. On obtiendrait ainsi une partie libre et génératrice du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C^n\), déterminant donc une base et la dimension du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C^n\).